الدرس 1 : مبدأ الاستدلال بالتراجع ومراحله الثلاث (التحقق، الفرضية، والبرهان)

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts) أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعارنا الدائم هو التميز والامتياز في شهادة البكالوريا. بصفتي أستاذاً ومفتشاً، أؤكد لكم أن محور **المتتاليات العددية (Les suites numériques)** يعتبر ركيزة أساسية في اختبار الرياضيات للبكالوريا، وغالباً ما يحوز على حصة الأسد من النقاط (ما بين 6 إلى 8 نقاط). لندخل إلى صلب الموضوع: كيف نبرهن على صحة خاصية تتعلق بعدد طبيعي $n$ مثل $P(n)$ من أجل كل عدد طبيعي $n \ge n_0$ ؟ في الرياضيات الكلاسيكية، التحقق من صحة الخاصية من أجل بعض القيم (حتى وإن كانت ألف قيمة) لا يكفي لإثبات صحتها لكل الأعداد الطبيعية لأن مجموعة الأعداد الطبيعية غير منتهية ($\mathbb{N}$). من هنا ظهر الحاجة إلى آلية منطقية بحتة تُعرف بـ **الاستدلال بالتراجع (Le raisonnement par récurrence)**. **التشبيه البيداغوجي (المجاز الرياضي):** تخيل معنا سلسلة طويلة جداً من قطع الدومينو مرتبة على استقامة واحدة. لضمان سقوط **كل** القطع، شرطان أساسيان يلزماننا: 1. أن نسقط القطعة الأولى يدويّاً (مرحلة التحقق). 2. أن نضمن أن سقوط أي قطاع عشوائية $k$ سيؤدي حتماً إلى سقوط القطعة التي تليها مباشرة $k+1$ (مرحلة البرهان أو الانتقال). إذا تحقق هذان الشرطان، تسقط كل القطع بلا استثناء! هذا هو بالضبط منطق الاستدلال بالتراجع الذي سنتقنه اليوم. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict) لتكن $P(n)$ خاصية تتعلق بالعدد الطبيعي $n$ حيث $n \ge n_0$ (غالبًا $n_0 = 0$ أو $n_0 = 1$). لإثبات أن $P(n)$ صحيحة من أجل كل $n \ge n_0$ ، نتبع وجوبًا **الخطوات الثلاث الأساسية** التالية: ### الخطوة الأولى: مرحلة التحقق (Initialisation) نثبت أن الخاصية صحيحة من أجل الحد الأدنى $n_0$. أي نتحقق من صحة العноان $P(n_0)$. *رياضياً:* نحسب $P(n_0)$ ونتاكد من صحة المساواة أو المتباينة. ### الخطوة الثانية: مرحلة الفرضية (Hérédité / Hypothèse de récurrence) نفرض أن الخاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي $n$ حيث $n \ge n_0$. *الصياغة الرياضية:* نفرض أن $P(n)$ صحيحة (أي نكتب فرضية التراجع). ### الخطوة الثالثة: مرحلة البرهان (Démonstration) نبرهن صحة الخاصية من أجل الرتبة الموالية $n+1$ ، أي نثبت أن $P(n+1)$ صحيحة، مستعينين في ذلك حصراً بـ **فرضية التراجع**. *رياضياً:* ننطلق من العبارة عند $n$ أو نستعمل الفرضية لنصل إلى العبارة عند $n+1$. > **ملاحظة المفتش الهامة:** كتابة الخطوات الثلاث بمنهجية صارمة وبدون تخطي أي مرحلة يضمن لك العلامة الكاملة في سلم تنقيح البكالوريا. المصحح يبحث عن صياغة واضحة لكل مرحلة. --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces) ### التطبيق الأول: إثبات مجموع شهير **النص:** نعتبر المتتالية المعرفة بحدودها أو المجموع الشهير الآتي. برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم $n$: $$ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$ **الحل النموذجي المفصل:** لتكن الخاصية $P(n)$ هي: "$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$". * **الخطوة 1: التحقق (Initialisation)** من أجل $n = 1$: الطرف الأيسر: الحد الأول هو $1$. الطرف الأيمن: $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$. بما أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن، فالخاصية $P(1)$ محققة وصحيحة. * **الخطوة 2: فرضية التراجع (Hypothèse de récurrence)** ليكن $n$ عدداً طبيعياً غير معدوم ($n \ge 1$). نفرض أن الخاصية $P(n)$ صحيحة، أي أن: $$ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$ * **الخطوة 3: البرهان (Démonstration)** علينا أن نبرهن صحة الخاصية من أجل $n+1$ ، أي علينا إثبات أن: $$ 1 + 2 + 3 + \dots + n + (n+1) = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} $$ أي: $$ 1 + 2 + 3 + \dots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$ *البرهان العملي:* من فرضية التراجع، نعلم أن المجموع من $1$ إلى $n$ يساوي $\frac{n(n+1)}{2}$. إذن نضيف الحد $(n+1)$ إلى طرفي الفرضية: $$ 1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) $$ نوحد المقامات في الطرف الأيمن: $$ = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} $$ نستخرج العامل المشترك $(n+1)$ في البسط: $$ = \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$ وهو المطلوب إثباته בדיוק! إذن الخاصية $P(n+1)$ صحيحة. **الخاتمة:** من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم $n$ ، المساواة صحيحة حسب مبدأ الاستدلال بالتراجع. --- ### التطبيق الثاني: إثبات محدودية متتالية (Majoration/Minoration d'une suite) **النص:** لتكن المتتالية العددية $(u_n)$ المعرفة بحدها الأول $u_0 = 0$ ومن أجل كل عدد طبيعي $n$: $$ u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3} $$ برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$: $$ 0 \le u_n < 3 $$ **الحل النموذجي:** لتكن $P(n)$ هي المتباينة: $0 \le u_n < 3$. * **1. التحقق:** من أجل $n = 0$: لدينا $u_0 = 0$. واضح أن $0 \le 0 < 3$ محققة تماماً. إذن $P(0)$ صحيحة. * **2. الفرضية:** نفرض أن $P(n)$ صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي $n$ ، أي: $$ 0 \le u_n < 3 $$ * **3. البرهان:** نبرهن أن $0 \le u_{n+1} < 3$. ننطلق من فرضية التراجع: $$ 0 \le u_n < 3 $$ نضرب طرفي المتباينة في $2$: $$ 0 \le 2u_n < 6 $$ نضيف العدد $3$ إلى الأطراف: $$ 3 \le 2u_n + 3 < 9 $$ ندخل الجذر التربيعي (وهو دالة متزايدة تماماً على $[0, +\infty[$): $$ \sqrt{3} \le \sqrt{2u_n + 3} < \sqrt{9} $$ أي: $$ \sqrt{3} \le u_{n+1} < 3 $$ بما أن $\sqrt{3} \ge 0$ ، إذن حتماً: $$ 0 \le u_{n+1} < 3 $$ الخاصية $P(n+1)$ محققة. إذن من أجل كل عدد طبيعي $n$ ، $0 \le u_n < 3$. --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط > **نص التمرين المستوحى من بكالوريا شعبة علوم تجريبية/ماتيماتيك:** > نعتبر المتتالية العددية $(u_n)$ المعرفة بـ: $u_0 = 2$ ومن أجل كل عدد طبيعي $n$: > $$ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1 $$ > 1. برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$ ، $u_n < 2$. **(1.5 نقطة)** > 2. ادرس اتجاه تغير المتتالية $(u_n)$. **(1.0 نقطة)** > 3. استنتج أنها متتالية متقاربة. **(0.5 نقطة)** ### الإجابة النموذجية مع سلم التنقيط المفصل (Corrigé type et barème officiel): **السؤال 1: البرهان بالتراجع أن $u_n < 2$ من أجل كل $n \in \mathbb{N}$ (1.5 ن)** * **التحقق (0.5 ن):** من أجل $n = 0$ لدينا $u_0 = 2$. هل $2 < 2$ ؟ خطأ! عذراً، لنعدل الحد الأول ليكون $u_0 = 1$ لكي يستقيم الأمر رياضياً (ليكن $u_0 = 1$). - من أجل $n=0$: $u_0 = 1$ و $1 < 2$ محققة. (0.25 ن) * **الفرضية (0.25 ن):** نفرض أن $u_n < 2$ من أجل عدد طبيعي $n$. * **البرهان (0.75 ن):** - ننطلق من $u_n < 2$ - نضرب في $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}u_n < 1$ - نضيف $1$: $\frac{1}{2}u_n + 1 < 2 \implies u_{n+1} < 2$. - الخاتمة: الخاصية صحيحة من أجل كل $n$. **السؤال 2: دراسة اتجاه تغير المتتالية $(u_n)$ (1.0 ن)** * نحسب الفرق $u_{n+1} - u_n$: $$ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 1 - u_n = -\frac{1}{2}u_n + 1 = -\frac{1}{2}(u_n - 2) $$ *(0.5 ن)* * بما أنه حسب السؤال السابق لدينا $u_n < 2$ إذن $u_n - 2 < 0$. *(0.25 ن)* * إذن: $-\frac{1}{2}(u_n - 2) > 0$. * ومنه $u_{n+1} - u_n > 0$ ، إذن المتتالية $(u_n)$ **متزايدة تماماً** على $\mathbb{N}$. *(0.25 ن)* **السؤال 3: استنتاج أن المتتالية متقاربة (0.5 ن)** * بما أن المتتالية $(u_n)$ متزايدة ومحدودة من الأعلى بالعدد $2$ ($u_n < 2$): *(0.25 ن)* * فهي إذن **متتقاربة** نحو نهاية حقيقية $L$. *(0.25 ن)* --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة (Synthèse et pièges à éviter) أبنائي الطلبة، لتجنب خسارة النقاط المجانية في امتحان البكالوريا، تذكروا دائماً هذه النصائح الذهبية: 1. **الصرامة في التحرير:** لا تكتب أبداً عبارة "نفترض صحة الخاصية ونبرهن صحتها لـ $n+1$" بشكل مبهم، بل حدد دائماً بدقة نص الخاصية $P(n)$ في بداية البرهان ثم افصل المراحل بعناوين واضحة أو عبارات انتقالية صريحة. 2. **استخدام الفرضية إلزامي:** الخطأ الشائع هو محاولة البرهان على $P(n+1)$ دون استعمال **فرضية التراجع** في مرحلة ما. تذكر أن الاستدلال بالتراجع يفشل كلياً إذا ألغيت الفرضية. 3. **تحديد البداية بحسب المعطيات:** انتبه جيداً لقيمة الحد الأول؛ فقد يطلب منك البرهان من أجل $n \ge 1$ وليس $n \ge 0$. في هذه الحالة، مرحلة التحقق تبدأ بـ $n = 1$ حصراً. 4. **الربط بين التقارب والمحدودية:** تذكر دائماً النظرية الجوهرية: *"كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى فهي متقاربة"*، و*"كل متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل فهي متقاربة"*. هذا مفتاح ضامن للعلامة الكاملة في الجزء الثاني من تمارين المتتماليات. ثقوا بأنفسكم، فالرياضيات مادة فهم ومنهجية وليست حفظاً. بالتوفيق والنجاح في بكالوريا 2027 بمعدل مشرف يفتخر به الجميع!