تعريف الأعداد المركبة والصيغة الجبرية

## الأعداد المركبة — التعريف والصيغة الجبرية ### نشأة مجموعة الأعداد المركبة تعرّفنا أن المعادلة $x^2 + 1 = 0$ لا حل لها في $\mathbb{R}$. لحل هذا الإشكال، نُعرِّف عدداً جديداً يُرمز له بـ $i$ يحقق: $$i^2 = -1$$ --- ### تعريف العدد المركب العدد المركب هو كل عدد من الشكل: $$z = a + ib \quad \text{ح\text{يث} } a, b \in \mathbb{R}$$ - $a = \text{Re}(z)$ : **الجزء الحقيقي** للعدد $z$ - $b = \text{Im}(z)$ : **الجزء التخيلي** للعدد $z$ **ملاحظات:** - إذا $b = 0$: $z = a$ عدد حقيقي ($\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$) - إذا $a = 0$ و $b eq 0$: $z = ib$ عدد تخيلي خالص - $i = 0 + 1\cdot i$: $\text{Re}(i)=0$، $\text{Im}(i)=1$ --- ### مساواة الأعداد المركبة $$a + ib = c + id \iff a = c \text{ و } b = d$$ **مثال:** إذا كان $z = (2x-1) + (y+3)i = 3 + 5i$، فإن: $$2x - 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \quad \text{و} \quad y + 3 = 5 \Rightarrow y = 2$$ --- ### العمليات الجبرية على الأعداد المركبة **الجمع:** $$(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)$$ **الضرب:** $$(a+ib)(c+id) = ac - bd + i(ad+bc)$$ (باستخدام $i^2 = -1$) **مثال:** $$(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$$ --- ### القوى المتتالية لـ $i$ $$i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1$$ **القاعدة:** $i^{4k} = 1$، $i^{4k+1} = i$، $i^{4k+2} = -1$، $i^{4k+3} = -i$ **مثال:** $i^{2025} = i^{4\cdot 506 + 1} = i$ ---  *مستوى أرغان — تمثيل الأعداد المركبة*