الدرس 2 : التمثيل البياني للدالة الخطية وقراءة المعطيات بيانياً واستخراج معامل التوجيه

## 1. وضعية الانطلاق والمفاهيم الأساسية بسم الله الرحمن الرحيم، والصلاة والسلام على أشرف المرسلين وخاتم النبيين، أما بعد. أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط (4AM)، أهلاً بكم في هذا الدرس الهام ضمن مسار التحضير المكثف لشهادة التعليم المتوسط (BEM 2027). بصفتي مفتشاً للإيضاح التربوي ومستشاراً بيداغوجياً لمادة الرياضيات، أؤكد لكم أن هذا الدرس يمثل حجر الأساس في محور الدوال الخطية والتآلفية وحل جملة معادلتين (Système de deux équations)، حيث سنركز اليوم على التمثيل البياني للدالة الخطية (Fonction linéaire)، وقراءة المعطيات بيانياً (Lecture graphique)، واستخراج معامل التوجيه (Coefficient directeur) بدقة متناهية تمكنكم من حصد العلامة الكاملة في اختبار الرياضيات. لكي نبسط الفكرة، نتخيل وضعية من الحياة اليومية : لنفترض أن ثقل جسم علبة مرطبات أو كمية من مادة معينة تتناسب طرداً مع عددها. إذا كانت الدالة الخطية المعبرة عن سعر السلع تكتب على الشكل $f(x) = ax$ حيث $a$ هو معامل التوجيه (Coefficient directeur) أو معامل التناسب، فإن التساؤل المطروح هو : كيف يمكننا تمثيل هذه العلاقة هندسياً في مستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (Repère orthonormé) ؟ وما هي الخصائص الهندسية لهذا التمثيل ؟ وكيف نترجم الرسم إلى قيم رياضية دقيقة ؟ لتثبيت المفاهيم الأساسية، نورد التعريفات الآتية بدقة رياضية متناهية : - الدالة الخطية (Fonction linéaire) هي علاقة تربط كل عدد حقيقي $x$ بالعدد $ax$ حيث $a$ عدد حقيقي ثابت غير معدوم غالباً. - التمثيل البياني (Représentation graphique) لدالة خطية $f$ حيث $f(x) = ax$ هو عبارة عن مستقيم نرمز له بـ $(d)$ يمر وجوباً من مبدأ المعلم $O(0, 0)$. - ميل المستقيم أو معامل التوجيه (Coefficient directeur) يعبر عن درجة انحدار المستقيم، ويحسب رياضياً بنسبة التغير في التراتيب إلى التغير في الفواصل $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$. - القراءة البيانية (Lecture graphique) هي الآلية العكسية التي تمكننا من إيجاد صورة عدد (Image d'un nombre) أو سابقة عدد (Antécédent d'un nombre) بالاعتماد الكلي على قراءة إحداثيات نقط تنتمي إلى المستقيم $(d)$. --- ## 2. القواعد والمبرهنات الرياضية مع البراهين لكتابة براهين رياضية سليمة ومقبولة في تصحيح شهادة التعليم المتوسط، يجب الإلمام بالقواعد الأساسية الآتية : **المبرهنة الأساسية للتمثيل البياني للدالة الخطية :** ليست كل مجموعة نقاط تشكل مستقيماً، ولكن بالنسبة لدالة خطية $f(x) = ax$, فإن النقطة $M(x, f(x))$ تنتمي إلى المستقيم $(d)$ الممثل للدالة $f$ إذا وفقط إذا تحقق التناسب بين إحداثياتها. - الخاصية المميزة : المستقيم $(d)$ يمر دائماً من المبدأ $O(0, 0)$. هذا يعني أنه لمعرفة رسم هذا المستقيم، يكفينا تعيين نقطة واحدة فقط تختلف عن المبدأ، وغالباً ما نختر $x = 1$ أو قيمة تسهل الحساب، لتكون النقطة المساعدة هي $A(x_1, f(x_1))$. **طريقة رسم المستقيم (Méthode de tracé) :** 1. نحدد مبدأ المعلم $O(0, 0)$ كالنقطة الإجبارية الأولى. 2. نحسب صورة قيمة اختيارية وليست صفراً، وليكن $x_1 = 2$, فنحسب $f(2) = 2a$. 3. نُعيّن النقطة المساعدة $A(2, f(2))$ في المعلم المتعامد والمتجانس $(O, I, J)$. 4. نصل بخط مستقيم بين النقطة $O$ والنقطة $A$, فنحصل على المستقيم $(d)$ الممثل للدالة $f$. **طريقة استخراج معامل التوجيه بيانياً :** إذا علمنا أن المستقيم $(d)$ يمر بالمبدأ $O(0, 0)$ ويمر بنقطة أخرى معلومة الإحداثيات $M(x_0, y_0)$ حيث $y_0 = f(x_0)$, فإن معامل التوجيه $a$ يُحسب بالقانون المباشر : $$a = \frac{y_0}{x_0}$$ أما إذا كان المستقيم لا يمر بوضوح من تقاطع خطوط الشبكة للمبدأ، أو أردنا حسابه من نقطتين مختاريتين تماماً على المستقيم $(d)$ فهما $M_1(x_1, y_1)$ و $M_2(x_2, y_2)$, فإن القانون العام لمعامل التوجيه (Coefficient directeur) يصبح : $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$ **القراءة البيانية (الصورة والسابقة) :** - تعيين صورة عدد $x$ بيانياً : ننطلق من الفاصلة $x$ على محور الفواصل، نصعد (أو ننزل) عمودياً حتى نتقاطع مع المستقيم $(d)$, ثم نتجه أفقياً نحو محور التراتيب لنقرأ القيمة $y$, وهي $f(x)$. - تعيين سابقة عدد $y$ بيانياً : ننطلق من الترتيبة $y$ على محور التراتيب، نتجه أفقياً حتى نتقاطع مع المستقيم $(d)$, ثم ننزل (أو نصعد) عمودياً نحو محور الفواصل لنقرأ القيمة $x$, وهي السابقة المطلوبة. --- ## 3. أمثلت وتطبيقات عددية وبيانية محلولة بالتفصيل لترسيخ هذه المهارات، إليكم تطبيقا شاملا ومحلولاً بعناية بالغة. **التطبيق النموذجي المحلول :** لتكن $f$ دالة خطية حيث تمثيلها البياني هو المستقيم $(d)$ في معلم متعامد ومتجانس $(O, I, J)$. علم أن المستقيم $(d)$ يمر بالنقطة $A(3, 6)$. 1. أوجد عبارة الدالة الخطية $f(x)$. 2. أنشئ المستقيم $(d)$ في المعلم المتعامد والمتجانس. 3. بالاستعانة بالتمثيل البياني، أوجد صورة العدد $1.5$ بالدالة $f$. 4. بالاستعانة بالتمثيل البياني، أوجد سابقة العدد -4 بالدالة $f$. **الخطوات المنهجية للحل المفصل :** *السؤال الأول : إيجاد عبارة الدالة الخطية $f(x)$* بما أن $f$ دالة خطية، فهي تكتب من الشكل $f(x) = ax$. علينا إيجاد قيمة معامل التوجيه $a$. بما أن النقطة $A(3, 6)$ تنتمي إلى المستقيم $(d)$ الممثل للدالة $f$, فإن إحداثياتها تحقق المساواة : $$f(3) = 6$$ أي أن : $$a \times 3 = 6$$ إذن : $$a = \frac{6}{3} = 2$$ إذن عبارة الدالة الخطية هي : $$f(x) = 2x$$ *السؤال الثاني : إنشاء المستقيم $(d)$* - المستقيم يمر حتماً من مبدأ المعلم $O(0, 0)$. - نحسب نقطة مساعدة وليكن $x = 2$, إذن $f(2) = 2 \times 2 = 4$. إذن النقطة المساعدة هي $B(2, 4)$. - نرسم محور الفواصل ومحور التراتيب متعامدين ومتجانسين، نعين النقطة $O(0,0)$ والنقطة $B(2,4)$ ثم نصل بينهما بخط مستقيم ونسميه $(d)$. *السؤال الثالث : تعيين صورة العدد $1.5$ بيانياً (أو حسابياً للتحقق)* - بيانياً : نقف عند الفاصلة $1.5$ على محور الفواصل، نصعد بخط عمودي متقطع حتى نلتقي بالمستقيم $(d)$, ثم نتجه نحو محور التراتيب فنجد القيمة $3$. - حسابياً للتأكد : $f(1.5) = 2 \times 1.5 = 3$. - إذن صورة العدد $1.5$ هي $3$. *السؤال الرابع : تعيين سابقة العدد -4 بيانياً* - بيانياً : نقف عند الترتيبة $-4$ على محور التراتيب، نتجه أفقياً بخط متقطع حتى نلتقي بالمستقيم $(d)$, ثم ننزل عمودياً نحو محور الفواصل فنجد الفاصلة $-2$. - حسابياً للتأكد : نحل المعادلة $f(x) = -4$ أي $2x = -4$, إذن $x = \frac{-4}{2} = -2$. - إذن سابقة العدد $-4$ هي $-2$. --- ## 4. تمرين نموذجي على طريقة شهادة التعليم المتوسط مع سلم التنقيط أيها الأبناء الأعزاء، إليكم تمريناً يطابق تماماً المعايير الرسمية لامتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM)، مرفقاً بسلم التنقيط الدقيق لتتعودوا على منهجية المصححين الرسميين. **نص التمرين النموذجي :** الجزء الأول مستخلص من اختبارات شهادة التعليم المتوسط السابقة : ليستقر في علمكم أن $g$ دالة خطية حيث $g(x) = -\frac{3}{2}x$. 1. احسب $g(4)$. (01 ن) 2. أوجد العدد الذي صورته بالدالة $g$ هي $6$. (1.5 ن) 3. في معلم متعامد ومتجانس $(O, I, J)$, أرسم المستقيم $(d_g)$ الممثل للدالة $g$. (02 ن) 4. بالاعتماد على التمثيل البياني، هل النقطة $M(-2, 3)$ تنتمي إلى المستقيم $(d_g)$ ؟ برر جوابك بحساب رياضي. (1.5 ن) --- **الإجابة النموذجية المفصلة مع سلم التنقيط الرسمي :** 1. حساب $g(4)$ : (01 ن موزعة كالتالي) - كتابة التعويض الصحيح $g(4) = -\frac{3}{2} \times (4)$ : (0.5 ن) - النتيجة النهائية $g(4) = -6$ : (0.5 ن) 2. إيجاد العدد الذي صورته 6 بالدالة $g$ : (1.5 ن موزعة كالتالي) - وضع المعادلة المناسبة $g(x) = 6$ أو $-\frac{3}{2}x = 6$ : (0.5 ن) - طريقة الحل واستخراج المجهول $x = 6 \times \left(-\frac{2}{3}\right)$ : (0.5 ن) - النتيجة النهائية $x = -4$ : (0.5 ن) 3. رسم المستقيم $(d_g)$ في معلم متعامد ومتجانس : (02 ن موزعة كالتالي) - احترام تدريج المعلم وتعيين المبدأ $O(0, 0)$ : (0.5 ن) - إيجاد نقطة مساعدة بدقة مثل $x = 2$ ومنه $g(2) = -3$ أي النقطة $(2, -3)$ : (0.5 ن) - رسم المستقيم بدقة يمر من المبدأ والنقطة المساعدة : (1 ن) 4. التحقق من تنتمي النقطة $M(-2, 3)$ إلى $(d_g)$ : (1.5 ن موزعة كالتالي) - حساب $g(-2)$ رياضياً : $g(-2) = -\frac{3}{2} \times (-2) = 3$ : (1 ن) - الاستنتاج والتبرير : بما أن ترتيبة النقطة $M$ هي $3$ وهي مساوية لـ $g(-2)$, إذن النقطة $M(-2, 3)$ تنتمي إلى المستقيم $(d_g)$. (0.5 ن) --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي الطلبة، لتجنب الأخطاء الكارثية التي تضيع منكم النقاط الثمينة في امتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM)، أقدم لكم هذه الوصايا الذهبية المستخلصة من تقارير لجان التصحيح الوطنية : > 💡 **نصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة :** > 1. إياكم والخلط بين الدالة الخطية والدالة التآلفية : تذكروا جيداً أن التمثيل البياني للدالة الخطية يمر **إجبارياً وجوباً** من مبدأ المعلم $O(0, 0)$. إذا رسمتم مستقيماً لدالة خطية لا يمر من المبدأ، فهذا خطأ فادح يلغي إجابة السؤال مباشرة. > 2. دقة التدريج في المعلم : عند رسم المعلم المتعامد ومتجانس $(O, I, J)$, احرصوا على استعمال المسطرة وقلم رصاص مبرود بدقة، ووحدة قياس متساوية على المحورين (مثلاً 1 سم لكل وحدة أو مربعين لكل وحدة) لكي تكون القراءة البيانية سليمة ولا تقعوا في خطأ الانحراف البصري. > 3. التمييز بين الصورة والسابقة : عندما يطلب "صورة العدد $x$", نعوض $x$ في عبارة الدالة لنبحث عن $y$. وعندما يطلب "سابقة العدد $y$", نحل المعادلة $f(x) = y$ لنبحث عن $x$. لا تعكسوا المفهومين أبداً ! > 4. كتابة خطوات البرهان الرياضي : في أسئلة القراءة البيانية أو التحقق من تنتمي نقطة، لا تكتفوا بالجواب المجرد مثل "نعم تنتمي"، بل ادعموا إجابتكم بالحساب الرياضي الدقيق (بالتعويض أو بحل المعادلة) لأن المصحح يبحث عن الأثر الكتابي للخطوات الرياضية. تمنياتي لكم بالتوفيق والسداد، واعلموا أن التفوق في الرياضيات يبدأ بالتمرين المستمر وحل مواضيع الشهادات السابقة. ثقوا بأنفسكم، فالمجد ينتظر المجتهدين في BEM 2027. والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته.