الدرس 2 : جدول المربعات التامة وحساب الجذور المضبوطة

## 1. وضعية انطلاق ومفاهيم أساسية أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط (4AM) في هذا الدرس الجديد من سلسلة نحو الامتياز في شهادة التعليم المتوسط (BEM). بصفتي معلماً ومفتشاً لمادة الرياضيات، أؤكد لكم أن الحساب الجذري والحساب الحرفي هما الركيزتان الأساسيتان لحل أكثر من نصف مسائل امتحان شهادة التعليم المتوسط، وخاصة التمرين الأول والجزأين المتعلقين بالجذور في المسألة الكبرى. لنبدأ وضعية الانطلاق التالية لتقريب مفهوم المربع التام والجذر التربيعي (Racine carrée) إلى أذهانكم: تخيل أن لديك بلاطات مربعة الشكل، مساحة إحداها تساوي مقاساً معيناً بالأمتار المربعة. إذا أردنا معرفة طول ضلع (Côté) هذه البلاطة المربعة علماً أننا نعرف مساحتها، فما هي العملية الرياضية التي سنقوم بها؟ بفرض أن مساحة المربع هي $a$ ، فإن مساحته تُحسب بالقانون: المساحة $=$ الطول $\times$ الطول أي $a = x \times x = x^2$. لمعرفة طول الضلع $x$ ، نستعمل عملية عكسية نطلق عليها اسم الجذر التربيعي ونكتبها على الشكل $x = \sqrt{a}$. من هنا، نتعرف على مصطلح المربع التام (Carré parfait) : المربع التام هو عدد طبيعي (Nombre entier naturel) ينتج عن ضرب عدد طبيعي في نفسه. مثال: العدد $9$ هو مربع تام لأن $3 \times 3 = 9$ (أو $3^2 = 9$). ولكي نكون مستعدين تماماً لامتحان شهادة التعليم المتوسط، يجب أن نحفظ عن ظهر قلب جدول المربعات التامة والجذور التربيعية الشهيرة من $0$ إلى $15$ ، بالإضافة إلى المربعين التامين $400$ و $625$ (مربعات الأعداد $20$ و $25$). إليكم الجدول الشامل الذي يمثل مرجعكم الذهني الدائم في قاعة الامتحان: | العدد الطبيعي ($a$) | مربعه التام ($a^2$) | الجذر التربيعي التام ($\sqrt{a^2} = a$) | | :---: | :---: | :---: | | $0$ | $0$ | $\sqrt{0} = 0$ | | $1$ | $1$ | $\sqrt{1} = 1$ | | $2$ | $4$ | $\sqrt{4} = 2$ | | $3$ | $9$ | $\sqrt{9} = 3$ | | $4$ | $16$ | $\sqrt{16} = 4$ | | $5$ | $25$ | $\sqrt{25} = 5$ | | $6$ | $36$ | $\sqrt{36} = 6$ | | $7$ | $49$ | $\sqrt{49} = 7$ | | $8$ | $64$ | $\sqrt{64} = 8$ | | $9$ | $81$ | $\sqrt{81} = 9$ | | $10$ | $100$ | $\sqrt{100} = 10$ | | $11$ | $121$ | $\sqrt{121} = 11$ | | $12$ | $144$ | $\sqrt{144} = 12$ | | $13$ | $169$ | $\sqrt{169} = 13$ | | $14$ | $196$ | $\sqrt{196} = 14$ | | $15$ | $225$ | $\sqrt{225} = 15$ | | $20$ | $400$ | $\sqrt{400} = 20$ | | $25$ | $625$ | $\sqrt{625} = 25$ | --- ## 2. القواعد والخواص الرياضية مع البراهين في هذا القسم، سنغوص في القواعد الأساسية التي تُبنى عليها جل أسئلة الحساب الجذري في شهادة التعليم المتوسط. ### أ. تعريف الجذر التربيعي لعدد موجي ليكن $a$ عدداً حقيقياً موجباً تماماً أو معدوماً ($a \ge 0$). الجذر التربيعي للعدد $a$ ، ويرمز له بالرمز $\sqrt{a}$ ، هو العدد الموجب الذي مربعه يساوي $a$. بعبارة رياضية دقيقة: $$\text{إذا كان } x \ge 0 \text{ فإن: } \sqrt{x^2} = x$$ ### ب. الخاصية الأساسية وحساب العبارات البسيطة من أهم الخواص التي تُطرح في أسئلة الحساب الذهني والبسيط في شهادة التعليم المتوسط هي التعامل مع التربيع والجذر معاً. لكل عدد حقيقي $a$ موجب تماماً أو معدوم ($a \ge 0$)، لدينا: $$\sqrt{a^2} = a$$ وكذلك إذا كان العدد سالباً، فإن: $$\sqrt{(-a)^2} = a$$ لأن الناتج تحت الجذر يجب أن يكون موجباً دائماً، ونتيجة الجذر التربيعي هي دائماً عدد موجب أو معدوم (لا يوجد أبداً جذر تربيعي لعدد حقيقي يساوي عدداً سالباً في مجموعة الأعداد الحقيقية). ### البرهان الرياضي المختصر للخاصية: ليكن $x$ عدداً موجباً. حسب تعريف الجذر التربيعي، $\sqrt{x^2}$ هو ذلك العدد الموجب الذي مربعه يساوي $x^2$. وبما أن العددين $x$ و $-x$ مربعاهما يساویان $x^2$ ، وبما أن شرط الجذر التربيعي يفرض أن يكون الناتج موجباً قطعا أو معدوماً، فإن الاختيار يقع حتماً على $x$. إذن $\sqrt{x^2} = x$. --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة لكي تتمكنوا من تحويل هذه القواعد إلى مهارات تطبيقية سريعة أثناء امتحان شهادة التعليم المتوسط، إليكم عدة أمثلة نموذجية مشروحة بالتفصيل: ### المثال الأول: حساب الجذور المباشرة احسب ما يلي حساباً تاماً: $$A = \sqrt{196}, \quad B = \sqrt{0.09}, \quad C = \sqrt{\frac{16}{25}}$$ **الخطوات والحل:** - بالنسبة للعبارة $A$ : بالرجوع إلى جدول المربعات التامة، نجد أن $196$ هو مربع للعدد $14$. إذن: $$A = \sqrt{14^2} = 14$$ - بالنسبة للعبارة $B$ : ننظر إلى العدد عشرياً، $0.09$ هو مربع للعدد $0.3$ لأن $0.3 \times 0.3 = 0.09$. إذن: $$B = \sqrt{(0.3)^2} = 0.3$$ - بالنسبة للعبارة $C$ : نستخدم خواص الكسور والجذور، جذر الكسر هو جذر البسط مقسوماً على جذر المقام: $$C = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$$ ### المثال الثاني: تبسيط عبارات حرفية وجذرية بسيطة سطر العبارات الآتية حيث $x$ عدد حقيقي موجب: $$D = \sqrt{5^2}, \quad E = \sqrt{(-7)^2}, \quad F = 3\sqrt{100} - 2\sqrt{49}$$ **الخطوات والحل:** - العبارة $D$ : تطبيق مباشر للخاصية $\sqrt{a^2} = a$: $$D = \sqrt{5^2} = 5$$ - العبارة $E$ : نعلم أن $(-7)^2 = 49$ ، أو نطبق القاعدة العامة $\sqrt{(-a)^2} = a$: $$E = \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$$ - العبارة $F$ : نحسب أولاً الجذور الشهيرة ثم نجري العمليات الحسابية البسيطة: $$F = 3 \times (10) - 2 \times (7)$$ $$F = 30 - 14$$ $$F = 16$$ --- ## 4. تمرين نموذجي على طريقة شهادة التعليم المتوسط مع سلم التنقيط إليك تمرين مقترح بقوة في شهادة التعليم المتوسط، مصحوباً بسلم التنقيط النموذجي لتعرف بدقة كيف يُقيّم المصحح إجابتك. ### نص التمرين: 1. أجب بصواب أو خطأ مع التعقيب لكل عبارة: - العبارة الأولى: $\sqrt{(-5)^2} = -5$ - العبارة الثانية: $\sqrt{144} = 12$ 2. احسب العبارة الآتية واكتب الناتج على شكل عدد طبيعي: $$M = \sqrt{225} + \sqrt{81} - \sqrt{100}$$ 3. أوجد قيمة العدد الطبيعي $x$ في المعادلة التالية: $$\sqrt{x} = 11$$ --- ### الإجابة النموذجية وسلم التنقيط الرسمي: 1. تحديد صحة العبارات مع التعقيب (1.5 ن): - العبارة الأولى: **خطأ** (0.25 ن). التعليل: لأن نتيجة الجذر التربيعي يجب أن تكون موجبة دوماً، والصواب هو $\sqrt{(-5)^2} = 5$ (0.5 ن). - العبارة الثانية: **صحيح** (0.25 ن). التعليل: لأن $12^2 = 144$ (0.5 ن). 2. حساب العبارة $M$ (1.5 ن): - كتابة قيم الجذور الشهيرة: $M = 15 + 9 - 10$ (1 ن) - إنجاز العمليات الحسابية تدريجياً: $M = 24 - 10 = 14$ (0.5 ن) 3. إيجاد قيمة $x$ (1 ن): - بتربيع طرفي المعادلة نجد: $(\sqrt{x})^2 = 11^2$ (0.5 ن) - إذن: $x = 121$ (0.5 ن) **المجموع الكلي للتمرين:** 04 نقاط كاملة. --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي الأعزاء، لضمان العلامة الكاملة في هذا الجزئية من امتحان شهادة التعليم المتوسط، أقدم لكم نصائحي الذهبية بصفتي مفتشاً لمادة الرياضيات: 1. **حفظ جدول المربعات التامة:** لا تضيعوا وقتكم الثمين أثناء الامتحان في محاولة ضرب الأعداد الكبيرة بالقسمة المطولة؛ احفظوا المربعات إلى غاية $15$ صماً، فهذا سيوفر عليكم دقائق معدودة أنتم بحاجة ماسة إليها. 2. **الخطأ الشائع القاتل:** إياكم أن تكتبوا أن $\sqrt{(-5)^2} = -5$. تذكروا دائماً وأبداً: **نتيجة الجذر التربيعي لعدد حقيقي هي دائماً عدد موجب أو معدوم ولا يمكن أن تكون سالبة أبداً**. 3. **الكتابة المنهجية:** في الأسئلة التي تتطلب حساب عبارات تتضمن جذوراً مربعة، ابدأوا دائماً بتبسيط الجذور الشهيرة خطوة بخطوة قبل الانتقال إلى الجمع والطرح، ولا تستعملوا الآلة الحاسبة البيانية إلا للتأكد من النتائج النهائية فقط. بالتوفيق والنجاح الدائم في مشواركم الدراسي نحو نيل شهادة التعليم المتوسط بامتياز بإذن الله!