Pour continuer et accéder à l'intégralité du cours et aux quiz interactifs, créez votre compte gratuit ou connectez-vous.

Back to Course

Mode Découverte Gratuit (Accès 1-Clic)

Vous profitez d'un accès libre aux premières leçons de ce cours. Créez un compte gratuit pour enregistrer votre progression et accéder aux quiz !

Créer un compte gratuit

ما هو العدد الناطق؟ (تعريف وأمثلة)

ما هو العدد الناطق؟

مرحباً بك في الدرس الأول من سلسلة إتقان الأعداد الناطقة لشهادة التعليم المتوسط! قبل أن نتعمق في تعريف العدد الناطق، دعنا نتذكر معاً المجموعات العددية التي تعرفت عليها في السنوات السابقة.

بدأنا رحلتنا في عالم الرياضيات مع الأعداد الطبيعية، وهي أعداد العد التي نستخدمها يومياً: 0، 1، 2، 3، ... ونرمز لمجموعتها بالرمز $N$ . كانت هذه الأعداد كافية لعمليات الجمع والضرب، لكن عندما واجهنا عمليات الطرح مثل $5 - 7$ ، احتجنا إلى أعداد جديدة، وهكذا ظهرت الأعداد الصحيحة النسبية. تشمل هذه المجموعة الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى نظائرها السالبة: ...، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ... ونرمز لمجموعتها بالرمز $Z$ .

ولكن، هل هذه الأعداد كافية لكل الحالات؟ ماذا لو أردنا تقسيم تفاحة واحدة على شخصين؟ سيحصل كل منهما على نصف تفاحة، وهذا النصف لا هو عدد طبيعي ولا هو عدد صحيح. هنا يأتي دور الأعداد الناطقة.

تعريف العدد الناطق

بكل بساطة، *العدد الناطق

هو أي عدد يمكن كتابته على شكل كسر مقامه لا يساوي الصفر.

التعريف الرياضي الدقيق هو:
نقول عن عدد أنه ناطق إذا أمكن كتابته على الشكل:
$\displaystyle \frac{a}{b}$
حيث:
1. $a$ و $b$ هما عددان صحيحان نسبيان (ينتميان إلى المجموعة $Z$ ).
2. $b$ عدد غير معدوم، أي $b eq 0$ .

يُسمى العدد $a$ البسط، ويُسمى العدد $b$ المقام.
نرمز لمجموعة الأعداد الناطقة بالرمز $Q$ (من الكلمة الفرنسية "Quotient" التي تعني "حاصل القسمة").

لماذا المقام لا يجب أن يساوي الصفر؟

هذا شرط أساسي ومهم جداً. عملية القسمة على صفر هي عملية غير مُعرَّفة في الرياضيات. تخيل أنك تريد تقسيم 10 تفاحات على 0 من الأشخاص. كم يأخذ كل شخص؟ السؤال لا معنى له! لذا، في أي كسر يمثل عدداً ناطقاً، يجب أن يكون المقام مختلفاً تماماً عن الصفر.

علاقة الأعداد الناطقة بالمجموعات الأخرى

من التعريف، يمكننا أن نكتشف علاقة جميلة بين المجموعات $N$ و $Z$ و $Q$ .

هل كل عدد طبيعي هو عدد ناطق؟
نعم! لناخذ أي عدد طبيعي، مثلاً العدد 5. هل يمكننا كتابته على شكل كسر $" \frac{a}{b}"$ ؟ بالطبع، يمكننا كتابته على الشكل $" \frac{5}{1}"$ أو $" \frac{10}{2}"$ أو $" \frac{-15}{-3}"$ ... كلها كسور تعطينا الناتج 5. بما أننا استطعنا كتابته على شكل كسر، فالعدد 5 هو عدد ناطق. هذا ينطبق على جميع الأعداد الطبيعية. إذن، مجموعة الأعداد الطبيعية $N$ هي جزء من مجموعة الأعداد الناطقة $Q$ . ونكتب: $N \subset Q$ .

هل كل عدد صحيح هو عدد ناطق؟
نعم أيضاً! لناخذ أي عدد صحيح، مثلاً العدد -7. يمكننا كتابته على الشكل $" \frac{-7}{1}"$ أو $" \frac{14}{-2}"$ . بما أننا استطعنا كتابته على شكل كسر، فالعدد -7 هو عدد ناطق. هذا ينطبق على جميع الأعداد الصحيحة. إذن، مجموعة الأعداد الصحيحة $Z$ هي جزء من مجموعة الأعداد الناطقة $Q$ . ونكتب: $Z \subset Q$ .

من هنا، نستنتج العلاقة الشهيرة:
$N \subset Z \subset Q$
وهذا يعني أن كل عدد طبيعي هو عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو عدد ناطق.

أشكال مختلفة للعدد الناطق

الأعداد الناطقة يمكن أن تظهر لنا في عدة أشكال، وليس فقط ككسر بسيط.

*الكسور (Fractions):
هذا هو الشكل الأساسي. أمثلة: $" \frac{1}{2}"$ ، $" \frac{-3}{4}"$ ، $" \frac{22}{7}"$ ، $" \frac{8}{1}"$ (وهو العدد 8).
*الأعداد العشرية المنتهية (Terminating Decimals):
هي الأعداد التي لديها عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة. كل عدد عشري منتهٍ هو عدد ناطق لأنه يمكن تحويله بسهولة إلى كسر مقامه 10، 100، 1000، إلخ.
*مثال 1:
العدد 0.5. يمكن كتابته على شكل $" \frac{5}{10}"$ ، وبعد التبسيط يصبح $" \frac{1}{2}"$ . إذن 0.5 عدد ناطق.
*مثال 2:
العدد -1.25. يمكن كتابته على شكل $" \frac{-125}{100}"$ ، وبعد التبسيط يصبح $" \frac{-5}{4}"$ . إذن -1.25 عدد ناطق.
*الأعداد العشرية الدورية (Repeating Decimals):
هي الأعداد التي يتكرر فيها جزء من الأرقام بعد الفاصلة إلى ما لا نهاية. كل عدد عشري دوري هو أيضاً عدد ناطق.
*مثال 1:
العدد ...0.333. هذا العدد هو في الحقيقة الكسر $" \frac{1}{3}"$ . إذن هو عدد ناطق.
*مثال 2:
العدد ...0.142857142857. هذا النمط المتكرر هو نتيجة قسمة 1 على 7. إذن هذا العدد هو الكسر $" \frac{1}{7}"$ ، وهو عدد ناطق.
في مستوى شهادة التعليم المتوسط، يكفي أن تعرف أن أي عدد عشري يتضمن جزءاً يتكرر بشكل منتظم هو عدد ناطق.
*الأعداد الصحيحة والطبيعية:
كما ذكرنا سابقاً، كل عدد صحيح أو طبيعي هو عدد ناطق لأن مقامه يمكن أن يكون 1. مثلاً: $9 = \frac{9}{1}$ و $-4 = \frac{-4}{1}$ و $0 = \frac{0}{1}$ .

💡 Exemples Concrets

مثال 1: تمييز الأعداد الناطقة

لنتحقق من أي من الأعداد التالية هي أعداد ناطقة، مع ذكر السبب.

python
1. العدد 8:
نعم، هو عدد ناطق لأنه عدد طبيعي وصحيح، ويمكن كتابته على شكل كسر، مثلاً $\displaystyle \frac{8}{1}$ .

العدد 0.25:
نعم، هو عدد ناطق لأنه عدد عشري منتهٍ. يمكن كتابته على شكل كسر $\displaystyle \frac{25}{100}$ والذي يمكن تبسيطه إلى $\displaystyle \frac{1}{4}$ .
العدد $\displaystyle \frac{-7}{2}$ :
نعم، هو عدد ناطق لأنه مكتوب مباشرة على الشكل $\displaystyle \frac{a}{b}$ حيث $a=-7$ و $b=2$ ( $b eq 0$ ).
العدد 0:
نعم، هو عدد ناطق لأنه عدد طبيعي وصحيح. يمكن كتابته على شكل كسر، مثلاً $\displaystyle \frac{0}{1}$ أو $\displaystyle \frac{0}{5}$ .
العدد $\sqrt{2}$ :
لا، هذا ليس عدداً ناطقاً. عند حسابه بالآلة الحاسبة، نجد أن الأرقام بعد الفاصلة لا تنتهي ولا تتكرر بشكل دوري (...1.41421356). لذلك، لا يمكن كتابته على شكل كسر $\displaystyle \frac{a}{b}$ . (هذا النوع من الأعداد يسمى عدداً غير ناطق أو أصم).

مثال 2: تحويل عدد عشري إلى عدد ناطق

اكتب العدد العشري 3.6 على شكل كسر غير قابل للاختزال.

python
الخطوة 1: كتابة العدد العشري على شكل كسر مقامه 10 أو 100 أو ...
لدينا رقم واحد بعد الفاصلة، إذن نكتب العدد بدون فاصلة في البسط ونضع 10 في المقام:
$3.6 = \displaystyle \frac{36}{10}$

الخطوة 2: تبسيط الكسر (الاختزال).
نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام. العددان 36 و 10 كلاهما يقبل القسمة على 2.
$\displaystyle \frac{36 \div 2}{10 \div 2} = \displaystyle \frac{18}{5}$
الكسر $\displaystyle \frac{18}{5}$ غير قابل للاختزال. إذن، العدد 3.6 هو عدد ناطق يساوي $\displaystyle \frac{18}{5}$ .

🧠 Exercices Pratiques

*Exercice 1

: هل العدد -15 عدد ناطق؟ إذا كانت الإجابة نعم، اكتبه على شكل كسر $\displaystyle \frac{a}{b}$

Solution : نعم، العدد -15 هو عدد ناطق لأنه عدد صحيح. يمكن كتابته على الشكل $\displaystyle \frac{-15}{1}$ .

*Exercice 2

: العدد 4.5 هو عدد عشري منتهٍ. هل هو عدد ناطق؟ اكتبه على شكل كسر غير قابل للاختزال.

Solution : نعم، هو عدد ناطق. يمكن كتابته على شكل $\displaystyle \frac{45}{10}$ . بعد قسمة البسط والمقام على 5، نحصل على الكسر المختزل $\displaystyle \frac{9}{2}$ .

*Exercice 3

: لماذا العبارة $\displaystyle \frac{10}{7-7}$ لا تمثل عدداً ناطقاً؟

Solution : لأن مقامها يساوي الصفر ( $7-7=0$ ). في تعريف العدد الناطق $\displaystyle \frac{a}{b}$ ، يجب أن يكون المقام $b$ لا يساوي الصفر. القسمة على صفر غير ممكنة.

*Exercice 4

: صنّف الأعداد التالية في جدول إلى: طبيعية، صحيحة، ناطقة (ملاحظة: العدد الواحد يمكن أن ينتمي لأكثر من مجموعة):
$7, \quad -4, \quad \frac{2}{3}, \quad 0, \quad -1.2$

Solution : | 7: طبيعي، صحيح، ناطق.
| -4*: صحيح، ناطق.
| *

$\displaystyle \frac{2}{3}$ : ناطق فقط.
| 0: طبيعي، صحيح، ناطق.
| -1.2*: ناطق فقط (لأنه يساوي $\displaystyle \frac{-12}{10}$ ).

📝 À Retenir

العدد الناطق هو أي عدد يمكن كتابته على شكل الكسر $\displaystyle \frac{a}{b}$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b eq 0$
مجموعة الأعداد الناطقة (Q) تشمل كلاً من مجموعة الأعداد الصحيحة (Z) ومجموعة الأعداد الطبيعية (N).
العلاقة بين المجموعات هي: $N \subset Z \subset Q$
كل عدد صحيح هو عدد ناطق (مثال: $5 = \displaystyle \frac{5}{1}$ ).
كل عدد عشري منتهٍ هو عدد ناطق (مثال: $2.5 = \displaystyle \frac{25}{10} = \displaystyle \frac{5}{2}$ ).
القسمة على الصفر مستحيلة، لذلك يجب أن يكون مقام العدد الناطق دائماً مختلفاً عن الصفر.

![Illustration 1](https://dzsmarteduc.com/dz-media-bucket/media/course_assets/images/img_756_7562.png) ![Illustration 2](https://dzsmarteduc.com/dz-media-bucket/media/course_assets/images/img_756_7506.png) # # # # ما هو العدد الناطق؟ مرحباً بك في الدرس الأول من سلسلة إتقان الأعداد الناطقة لشهادة التعليم المتوسط! قبل أن نتعمق في تعريف العدد الناطق، دعنا نتذكر معاً المجموعات العددية التي تعرفت عليها في السنوات السابقة. بدأنا رحلتنا في عالم الرياضيات مع **الأعداد الطبيعية**، وهي أعداد العد التي نستخدمها يومياً: 0، 1، 2، 3، ... ونرمز لمجموعتها بالرمز $N$ . كانت هذه الأعداد كافية لعمليات الجمع والضرب، لكن عندما واجهنا عمليات الطرح مثل $$5 - 7$$ ، احتجنا إلى أعداد جديدة، وهكذا ظهرت **الأعداد الصحيحة النسبية**. تشمل هذه المجموعة الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى نظائرها السالبة: ...، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ... ونرمز لمجموعتها بالرمز $Z$ . ولكن، هل هذه الأعداد كافية لكل الحالات؟ ماذا لو أردنا تقسيم تفاحة واحدة على شخصين؟ سيحصل كل منهما على نصف تفاحة، وهذا النصف لا هو عدد طبيعي ولا هو عدد صحيح. هنا يأتي دور **الأعداد الناطقة**. # # # # تعريف العدد الناطق بكل بساطة، **العدد الناطق* * هو أي عدد يمكن كتابته على شكل كسر مقامه لا يساوي الصفر. التعريف الرياضي الدقيق هو: نقول عن عدد أنه ناطق إذا أمكن كتابته على الشكل: $$\displaystyle \frac{a}{b}$$ حيث: 1. $a$ و $b$ هما عددان صحيحان نسبيان (ينتميان إلى المجموعة $Z$ ). 2. $b$ عدد غير معدوم، أي $$b eq 0$$ . يُسمى العدد $a$ **البسط**، ويُسمى العدد $b$ **المقام**. نرمز لمجموعة الأعداد الناطقة بالرمز $Q$ (من الكلمة الفرنسية "Quotient" التي تعني "حاصل القسمة"). # # # # لماذا المقام لا يجب أن يساوي الصفر؟ هذا شرط أساسي ومهم جداً. عملية القسمة على صفر هي عملية غير مُعرَّفة في الرياضيات. تخيل أنك تريد تقسيم 10 تفاحات على 0 من الأشخاص. كم يأخذ كل شخص؟ السؤال لا معنى له! لذا، في أي كسر يمثل عدداً ناطقاً، يجب أن يكون المقام مختلفاً تماماً عن الصفر. # # # # علاقة الأعداد الناطقة بالمجموعات الأخرى من التعريف، يمكننا أن نكتشف علاقة جميلة بين المجموعات $N$ و $Z$ و $Q$ . **هل كل عدد طبيعي هو عدد ناطق؟** نعم! لناخذ أي عدد طبيعي، مثلاً العدد 5. هل يمكننا كتابته على شكل كسر $$" \frac{a}{b}"$$ ؟ بالطبع، يمكننا كتابته على الشكل $$" \frac{5}{1}"$$ أو $$" \frac{10}{2}"$$ أو $$" \frac{-15}{-3}"$$ ... كلها كسور تعطينا الناتج 5. بما أننا استطعنا كتابته على شكل كسر، فالعدد 5 هو عدد ناطق. هذا ينطبق على جميع الأعداد الطبيعية. إذن، مجموعة الأعداد الطبيعية $N$ هي جزء من مجموعة الأعداد الناطقة $Q$ . ونكتب: $$N \subset Q$$ . **هل كل عدد صحيح هو عدد ناطق؟** نعم أيضاً! لناخذ أي عدد صحيح، مثلاً العدد -7. يمكننا كتابته على الشكل $$" \frac{-7}{1}"$$ أو $$" \frac{14}{-2}"$$ . بما أننا استطعنا كتابته على شكل كسر، فالعدد -7 هو عدد ناطق. هذا ينطبق على جميع الأعداد الصحيحة. إذن، مجموعة الأعداد الصحيحة $Z$ هي جزء من مجموعة الأعداد الناطقة $Q$ . ونكتب: $$Z \subset Q$$ . من هنا، نستنتج العلاقة الشهيرة: $$N \subset Z \subset Q$$ وهذا يعني أن كل عدد طبيعي هو عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو عدد ناطق. # # # # أشكال مختلفة للعدد الناطق الأعداد الناطقة يمكن أن تظهر لنا في عدة أشكال، وليس فقط ككسر بسيط. 1. **الكسور (Fractions):* * هذا هو الشكل الأساسي. أمثلة: $$" \frac{1}{2}"$$ ، $$" \frac{-3}{4}"$$ ، $$" \frac{22}{7}"$$ ، $$" \frac{8}{1}"$$ (وهو العدد 8). 2. **الأعداد العشرية المنتهية (Terminating Decimals):* * هي الأعداد التي لديها عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة. كل عدد عشري منتهٍ هو عدد ناطق لأنه يمكن تحويله بسهولة إلى كسر مقامه 10، 100، 1000، إلخ. * **مثال 1:* * العدد 0.5. يمكن كتابته على شكل $$" \frac{5}{10}"$$ ، وبعد التبسيط يصبح $$" \frac{1}{2}"$$ . إذن 0.5 عدد ناطق. * **مثال 2:* * العدد -1.25. يمكن كتابته على شكل $$" \frac{-125}{100}"$$ ، وبعد التبسيط يصبح $$" \frac{-5}{4}"$$ . إذن -1.25 عدد ناطق. 3. **الأعداد العشرية الدورية (Repeating Decimals):* * هي الأعداد التي يتكرر فيها جزء من الأرقام بعد الفاصلة إلى ما لا نهاية. كل عدد عشري دوري هو أيضاً عدد ناطق. * **مثال 1:* * العدد ...0.333. هذا العدد هو في الحقيقة الكسر $$" \frac{1}{3}"$$ . إذن هو عدد ناطق. * **مثال 2:* * العدد ...0.142857142857. هذا النمط المتكرر هو نتيجة قسمة 1 على 7. إذن هذا العدد هو الكسر $$" \frac{1}{7}"$$ ، وهو عدد ناطق. في مستوى شهادة التعليم المتوسط، يكفي أن تعرف أن أي عدد عشري يتضمن جزءاً يتكرر بشكل منتظم هو عدد ناطق. 4. **الأعداد الصحيحة والطبيعية:* * كما ذكرنا سابقاً، كل عدد صحيح أو طبيعي هو عدد ناطق لأن مقامه يمكن أن يكون 1. مثلاً: $$9 = \frac{9}{1}$$ و $$-4 = \frac{-4}{1}$$ و $$0 = \frac{0}{1}$$ . # # # # 💡 Exemples Concrets # # # # مثال 1: تمييز الأعداد الناطقة لنتحقق من أي من الأعداد التالية هي أعداد ناطقة، مع ذكر السبب. python 1. العدد 8: نعم، هو عدد ناطق لأنه عدد طبيعي وصحيح، ويمكن كتابته على شكل كسر، مثلاً $$\displaystyle \frac{8}{1}$$ . 2. العدد 0.25: نعم، هو عدد ناطق لأنه عدد عشري منتهٍ. يمكن كتابته على شكل كسر $$\displaystyle \frac{25}{100}$$ والذي يمكن تبسيطه إلى $$\displaystyle \frac{1}{4}$$ . 3. العدد $$\displaystyle \frac{-7}{2}$$ : نعم، هو عدد ناطق لأنه مكتوب مباشرة على الشكل $$\displaystyle \frac{a}{b}$$ حيث $a=-7$ و $b=2$ ( $b eq 0$ ). 4. العدد 0: نعم، هو عدد ناطق لأنه عدد طبيعي وصحيح. يمكن كتابته على شكل كسر، مثلاً $$\displaystyle \frac{0}{1}$$ أو $$\displaystyle \frac{0}{5}$$ . 5. العدد $$\sqrt{2}$$ : لا، هذا ليس عدداً ناطقاً. عند حسابه بالآلة الحاسبة، نجد أن الأرقام بعد الفاصلة لا تنتهي ولا تتكرر بشكل دوري (...1.41421356). لذلك، لا يمكن كتابته على شكل كسر $$\displaystyle \frac{a}{b}$$ . (هذا النوع من الأعداد يسمى عدداً غير ناطق أو أصم). # # # # مثال 2: تحويل عدد عشري إلى عدد ناطق اكتب العدد العشري 3.6 على شكل كسر غير قابل للاختزال. python الخطوة 1: كتابة العدد العشري على شكل كسر مقامه 10 أو 100 أو ... لدينا رقم واحد بعد الفاصلة، إذن نكتب العدد بدون فاصلة في البسط ونضع 10 في المقام: $$3.6 = \displaystyle \frac{36}{10}$$ الخطوة 2: تبسيط الكسر (الاختزال). نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام. العددان 36 و 10 كلاهما يقبل القسمة على 2. $$\displaystyle \frac{36 \div 2}{10 \div 2} = \displaystyle \frac{18}{5}$$ الكسر $$\displaystyle \frac{18}{5}$$ غير قابل للاختزال. إذن، العدد 3.6 هو عدد ناطق يساوي $$\displaystyle \frac{18}{5}$$ . # # # # 🧠 Exercices Pratiques **Exercice 1* * : هل العدد -15 عدد ناطق؟ إذا كانت الإجابة نعم، اكتبه على شكل كسر $$\displaystyle \frac{a}{b}$$ > *Solution : نعم، العدد -15 هو عدد ناطق لأنه عدد صحيح. يمكن كتابته على الشكل $$\displaystyle \frac{-15}{1}$$ .* **Exercice 2* * : العدد 4.5 هو عدد عشري منتهٍ. هل هو عدد ناطق؟ اكتبه على شكل كسر غير قابل للاختزال. > *Solution : نعم، هو عدد ناطق. يمكن كتابته على شكل $$\displaystyle \frac{45}{10}$$ . بعد قسمة البسط والمقام على 5، نحصل على الكسر المختزل $$\displaystyle \frac{9}{2}$$ .* **Exercice 3* * : لماذا العبارة $$\displaystyle \frac{10}{7-7}$$ لا تمثل عدداً ناطقاً؟ > *Solution : لأن مقامها يساوي الصفر ( $$7-7=0$$ ). في تعريف العدد الناطق $$\displaystyle \frac{a}{b}$$ ، يجب أن يكون المقام $b$ لا يساوي الصفر. القسمة على صفر غير ممكنة.* **Exercice 4* * : صنّف الأعداد التالية في جدول إلى: طبيعية، صحيحة، ناطقة (ملاحظة: العدد الواحد يمكن أن ينتمي لأكثر من مجموعة): $$7, \quad -4, \quad \frac{2}{3}, \quad 0, \quad -1.2$$ > *Solution : | **7**: طبيعي، صحيح، ناطق. | **-4**: صحيح، ناطق. | * * $$\displaystyle \frac{2}{3}$$ **: ناطق فقط. | **0**: طبيعي، صحيح، ناطق. | **-1.2**: ناطق فقط (لأنه يساوي $$\displaystyle \frac{-12}{10}$$ ).* # # # # 📝 À Retenir - العدد الناطق هو أي عدد يمكن كتابته على شكل الكسر $$\displaystyle \frac{a}{b}$$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $$b eq 0$$ - مجموعة الأعداد الناطقة (Q) تشمل كلاً من مجموعة الأعداد الصحيحة (Z) ومجموعة الأعداد الطبيعية (N). - العلاقة بين المجموعات هي: $$N \subset Z \subset Q$$ - كل عدد صحيح هو عدد ناطق (مثال: $$5 = \displaystyle \frac{5}{1}$$ ). - كل عدد عشري منتهٍ هو عدد ناطق (مثال: $$2.5 = \displaystyle \frac{25}{10} = \displaystyle \frac{5}{2}$$ ). - القسمة على الصفر مستحيلة، لذلك يجب أن يكون مقام العدد الناطق دائماً مختلفاً عن الصفر.