Les suites numériques au BAC : méthode pour réussir l'exercice

Les suites numériques au BAC font partie des exercices les plus fréquents en mathématiques, notamment dans les filières scientifiques. Bonne nouvelle : ces exercices suivent souvent le même schéma. Avec quelques formules maîtrisées et une méthode claire, on peut aller chercher la plupart des points. Voici les rappels essentiels, la méthode de la suite auxiliaire avec un exemple corrigé, et les erreurs à éviter. Le contenu exact du programme dépend de votre filière : vérifiez avec votre professeur les parties qui vous concernent.

Les rappels indispensables

Suite arithmétique

• Définition : u_n+1 = u_n + r (r est la raison).
• Terme général : u_n = u₀ + n·r, ou u_n = u_p + (n − p)·r.
• Somme de termes consécutifs : (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2.

Suite géométrique

• Définition : u_n+1 = q·u_n (q est la raison).
• Terme général : u_n = u₀·qⁿ.
• Somme u₀ + u₁ + … + u_n = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q), pour q ≠ 1.
• Limite : si −1 < q < 1, alors qⁿ tend vers 0.

Montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique

On calcule u_n+1 − u_n : si le résultat est une constante, la suite est arithmétique. On calcule u_n+1 en fonction de u_n : si on obtient u_n+1 = q·u_n avec q constant, la suite est géométrique.

La méthode de la suite auxiliaire

Un grand classique : une suite définie par u_n+1 = a·u_n + b, qui n'est ni arithmétique ni géométrique. On introduit une suite auxiliaire v_n = u_n − α, qui, elle, est géométrique. L'énoncé donne généralement α ; sinon, on le trouve en résolvant α = a·α + b.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé : u₀ = 3 et, pour tout entier naturel n, u_n+1 = ½·u_n + 2. On pose v_n = u_n − 4.

1. Montrer que (v_n) est géométrique

v_n+1 = u_n+1 − 4 = ½·u_n + 2 − 4 = ½·u_n − 2 = ½·(u_n − 4) = ½·v_n.

Donc (v_n) est géométrique de raison ½ et de premier terme v₀ = 3 − 4 = −1.

2. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n

v_n = −1 × (½)ⁿ = −(½)ⁿ.

Comme u_n = v_n + 4, on obtient u_n = 4 − (½)ⁿ.

3. Calculer la limite de (u_n)

Comme −1 < ½ < 1, (½)ⁿ tend vers 0. Donc u_n tend vers 4.

4. Vérification rapide

u₁ = ½ × 3 + 2 = 3,5 et la formule donne 4 − ½ = 3,5. La formule est cohérente.

Le raisonnement par récurrence en bref

Pour démontrer une propriété P(n) pour tout n :

1. Initialisation : vérifier P(0) (ou le premier rang demandé).
2. Hérédité : supposer P(n) vraie pour un n donné, et démontrer P(n+1).
3. Conclusion : P(n) est vraie pour tout n.

Dans l'exemple, on pourrait démontrer par récurrence que u_n < 4 pour tout n.

Les erreurs qui coûtent des points

• Se tromper dans le nombre de termes d'une somme : de u₀ à u_n, il y a n + 1 termes.
• Oublier le premier terme de la suite auxiliaire.
• Affirmer une limite sans justifier la condition −1 < q < 1.
• Bâcler l'hérédité : la propriété de rang n doit vraiment être utilisée.

FAQ : les suites au BAC

Toutes les filières ont-elles un exercice sur les suites ?

Les suites apparaissent dans plusieurs filières, mais avec des niveaux d'exigence différents. Demandez à votre professeur ce qui est au programme de la vôtre.

Comment trouver α si l'énoncé ne le donne pas ?

On résout l'équation α = a·α + b. Dans l'exemple : α = ½·α + 2, donc α = 4.

Combien d'exercices faire pour être à l'aise ?

Il n'y a pas de chiffre magique ; travailler régulièrement des exercices issus d'anciens sujets du BAC est la meilleure préparation.

Conclusion

Retenez trois réflexes : identifier le type de suite, utiliser la suite auxiliaire pour les suites u_n+1 = a·u_n + b, et justifier chaque limite. Refaites l'exemple ci-dessus seul, sans regarder la correction, puis changez les valeurs de départ.