خاصية طالس في الرابعة متوسط: شرح مبسط وتمارين محلولة

خاصية طالس من أهم دروس الهندسة في السنة الرابعة متوسط، وتظهر كثيرا في تمارين شهادة التعليم المتوسط. تُستعمل لحساب أطوال مجهولة عندما يكون لدينا مستقيمان متوازيان، وتُستعمل خاصيتها العكسية لإثبات أن مستقيمين متوازيان. في هذا المقال نشرح الخاصيتين ببساطة، ثم نحل تمرينين خطوة بخطوة، ونذكر الأخطاء التي تكلف التلاميذ نقاطا.

نص خاصية طالس

ليكن ABC مثلثا، و M نقطة من [AB] و N نقطة من [AC].

إذا كان المستقيمان (MN) و (BC) متوازيين، فإن:

AM / AB = AN / AC = MN / BC

أي أن أطوال المثلث الصغير AMN متناسبة مع أطوال المثلث الكبير ABC.

متى نستعمل خاصية طالس؟

• عندما يكون التوازي معطى في التمرين؛
• والمطلوب حساب طول.

تمرين محلول 1: حساب أطوال

المعطيات: ABC مثلث، M من [AB] و N من [AC]، والمستقيمان (MN) و (BC) متوازيان. AB = 6 cm، AM = 4 cm، AC = 9 cm، BC = 7,5 cm.

المطلوب: احسب AN و MN.

الحل:

1. نذكر الشروط: النقط A و M و B على استقامة واحدة، والنقط A و N و C على استقامة واحدة، و (MN) // (BC).
2. حسب خاصية طالس: AM / AB = AN / AC = MN / BC.
3. نعوض: 4 / 6 = AN / 9 = MN / 7,5.
4. حساب AN: AN = 9 × 4 / 6 = 6 cm.
5. حساب MN: MN = 7,5 × 4 / 6 = 5 cm.

نلاحظ أن النسبة 4 / 6 = 2 / 3: المثلث AMN هو تصغير للمثلث ABC بنسبة 2 / 3.

الخاصية العكسية لطالس

ليكن ABC مثلثا، و M نقطة من [AB] و N نقطة من [AC].

إذا كان AM / AB = AN / AC، و النقط A و M و B من جهة، و A و N و C من جهة أخرى بنفس الترتيب، فإن المستقيمين (MN) و (BC) متوازيان.

متى نستعمل الخاصية العكسية؟

عندما يكون المطلوب إثبات التوازي انطلاقا من أطوال معطاة.

تمرين محلول 2: إثبات التوازي

المعطيات: AM = 3 cm، AB = 5 cm، AN = 4,2 cm، AC = 7 cm، و M من [AB] و N من [AC].

المطلوب: هل المستقيمان (MN) و (BC) متوازيان؟

الحل:

1. نحسب كل نسبة على حدة: AM / AB = 3 / 5 = 0,6.
2. AN / AC = 4,2 / 7 = 0,6.
3. النسبتان متساويتان، والنقط على نفس الترتيب.
4. إذن حسب الخاصية العكسية لطالس: (MN) // (BC).

ملاحظة: إذا كانت النسبتان مختلفتين، نستنتج أن المستقيمين غير متوازيين، لأنهما لو كانا متوازيين لكانت النسبتان متساويتين حسب خاصية طالس.

أخطاء شائعة يجب تجنبها

• الخلط بين الخاصية والعكسية: الخاصية تحسب أطوالا، والعكسية تثبت التوازي.
• نسيان ذكر الشروط: الاستقامية والتوازي يجب أن تُكتب قبل تطبيق الخاصية.
• قلب النسب: نضع دائما أطوال المثلث الصغير في البسط وأطوال المثلث الكبير في المقام، بنفس الترتيب.
• استعمال MN / BC في الخاصية العكسية: العكسية تعتمد فقط على النسبتين AM / AB و AN / AC.
• نسيان الوحدة في النتيجة النهائية.

نصائح للمراجعة

• ارسم الشكل دائما، حتى لو لم يُطلب منك.
• لوّن المثلث الصغير والمثلث الكبير بلونين مختلفين لتفادي الخطأ في النسب.
• حل تمارين من مواضيع شهادة التعليم المتوسط للسنوات الماضية، لأن طالس يظهر غالبا في جزء الهندسة.

أسئلة شائعة حول خاصية طالس

هل يمكن تطبيق طالس إذا كانت النقط على امتداد الأضلاع؟

نعم، توجد حالة تكون فيها النقط على امتداد الأضلاع (شكل "الفراشة")، والنسب تبقى نفسها. راجع مع أستاذك الحالات المقررة في برنامجك.

كيف أكتب الحل للحصول على العلامة كاملة؟

اذكر المعطيات والشروط، ثم اسم الخاصية، ثم النسب، ثم الحساب، ثم النتيجة مع الوحدة.

ما الفرق بين طالس وفيثاغورس؟

فيثاغورس يخص المثلث القائم ويربط أطوال أضلاعه الثلاثة، أما طالس فيخص مستقيمين متوازيين يقطعان مثلثا.

خلاصة

تذكر قاعدة بسيطة: التوازي معطى ← نحسب أطوالا بخاصية طالس؛ الأطوال معطاة ← نثبت التوازي بالخاصية العكسية. حل هذا الأسبوع ثلاثة تمارين من كل نوع، واكتب كل مراحل الحل.