القاسم المشترك الأكبر والكسور غير القابلة للاختزال: شرح مبسط لتلاميذ الرابعة متوسط

من أول دروس الرياضيات في السنة الرابعة متوسط درس القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين، ويرمز له بـ PGCD. هذا الدرس بسيط إذا فهمت طريقته، ويظهر في امتحان شهادة التعليم المتوسط في تمارين الحساب وفي مسائل من الحياة اليومية. في هذا المقال نشرح لك الطريقتين الأساسيتين، ثم نرى كيف نستعمل PGCD لجعل كسر غير قابل للاختزال.

ما هو القاسم المشترك الأكبر؟

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b هو أكبر عدد يقسم a و b معا.

مثال: قواسم 12 هي 1، 2، 3، 4، 6، 12. وقواسم 18 هي 1، 2، 3، 6، 9، 18. القواسم المشتركة هي 1، 2، 3، 6، وأكبرها 6. إذن PGCD(12 ; 18) = 6.

هذه الطريقة (كتابة كل القواسم) تصلح للأعداد الصغيرة فقط. مع الأعداد الكبيرة نستعمل إحدى الطريقتين التاليتين.

الطريقة الأولى: الطرح المتتالي

نطرح العدد الأصغر من الأكبر، ونعيد العملية مع العدد الأصغر والفرق، حتى نحصل على فرق يساوي 0. آخر فرق غير معدوم هو PGCD.

مثال: PGCD(84 ; 36)

• 84 − 36 = 48
• 48 − 36 = 12
• 36 − 12 = 24
• 24 − 12 = 12
• 12 − 12 = 0

آخر فرق غير معدوم هو 12، إذن PGCD(84 ; 36) = 12.

الطريقة الثانية: خوارزمية إقليدس

نقسم العدد الأكبر على الأصغر قسمة إقليدية، ثم نقسم القاسم على الباقي، وهكذا حتى نحصل على باقٍ يساوي 0. آخر باقٍ غير معدوم هو PGCD. هذه الطريقة أسرع مع الأعداد الكبيرة.

مثال: PGCD(252 ; 198)

• 252 = 198 × 1 + 54
• 198 = 54 × 3 + 36
• 54 = 36 × 1 + 18
• 36 = 18 × 2 + 0

آخر باقٍ غير معدوم هو 18، إذن PGCD(252 ; 198) = 18.

نصيحة للامتحان: اكتب كل مرحلة في سطر مستقل كما في المثال. التصحيح يمنح نقاطا على الطريقة، وليس فقط على النتيجة.

عددان أوليان فيما بينهما

نقول إن عددين أوليان فيما بينهما إذا كان PGCD لهما يساوي 1. مثال: 8 و 15 أوليان فيما بينهما لأن قاسمهما المشترك الوحيد هو 1.

الكسر غير القابل للاختزال

الكسر a/b غير قابل للاختزال إذا كان a و b أوليين فيما بينهما. لجعل كسر غير قابل للاختزال، نقسم البسط والمقام على PGCD لهما.

مثال: نعلم أن PGCD(252 ; 198) = 18، إذن:

252/198 = (252 ÷ 18)/(198 ÷ 18) = 14/11، وهو كسر غير قابل للاختزال.

مسألة محلولة من الحياة اليومية

المسألة: لدى بائع ورود 60 وردة حمراء و84 زهرة توليب. يريد تكوين أكبر عدد ممكن من الباقات المتماثلة، مستعملا كل الأزهار. كم باقة يكوّن؟ وما محتوى كل باقة؟

الحل: عدد الباقات يجب أن يقسم 60 و84 معا، ونريد أكبره، إذن نحسب PGCD(84 ; 60):

• 84 = 60 × 1 + 24
• 60 = 24 × 2 + 12
• 24 = 12 × 2 + 0

PGCD(84 ; 60) = 12. يكوّن البائع 12 باقة، في كل باقة 60 ÷ 12 = 5 ورود و84 ÷ 12 = 7 زهرات توليب.

كلمة "أكبر عدد ممكن" مع "متماثلة" أو "بالتساوي" في نص المسألة إشارة إلى أن المطلوب هو PGCD.

أخطاء شائعة

• أخذ آخر باقٍ (وهو 0) بدل آخر باقٍ غير معدوم.
• الخطأ في القسمة الإقليدية: تأكد دائما أن الباقي أصغر من القاسم.
• اختزال الكسر على مراحل ونسيان الوصول إلى الكسر غير القابل للاختزال.
• عدم كتابة الجملة الختامية في المسائل (عدد الباقات ومحتواها).

تمرين للتدريب

1. احسب PGCD(1053 ; 325) بخوارزمية إقليدس.
2. هل العددان 1053 و325 أوليان فيما بينهما؟ علل.
3. اكتب الكسر 1053/325 على شكل كسر غير قابل للاختزال.

للتحقق: يجب أن تجد PGCD يساوي 13.

أسئلة شائعة

أي طريقة أستعمل في الامتحان؟

الطريقتان مقبولتان ما لم يحدد التمرين طريقة معينة. خوارزمية إقليدس أسرع مع الأعداد الكبيرة.

هل يمكن استعمال الآلة الحاسبة؟

الآلة الحاسبة تساعدك في القسمة، لكن يجب أن تكتب مراحل الخوارزمية كاملة في ورقة الإجابة.

ما الفرق بين PGCD والمضاعف المشترك الأصغر؟

PGCD هو أكبر قاسم مشترك، بينما المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد يقبل القسمة على العددين معا. لا تخلط بينهما في المسائل.

خطوتك التالية

حل التمرين أعلاه، ثم اكتب في كراس الملخصات الطريقتين مع مثال لكل واحدة. بعدها ابحث في مواضيع شهادة التعليم المتوسط السابقة عن تمرين في PGCD وحله بالتوقيت.