الدرس 2 : تساوي شعاعين والشعاعان المتعاكسان والربط بمتوازي الأضلاع

## 1. وضعية الانطلاق والمفاهيم الأساسية أهلاً بك عزيزي التلميذ، في إطار التحضير الجيد والمتميز لامتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM 2027)، نواصل رحلتنا في ميدان الهندسة المستوية. لقد تعرفنا في الدرس السابق على مفهوم الشعاع (Vecteur) وكيفية تعيينه بخصائصه الثلاث: المنحى (Direction)، الاتجاه (Sens)، والطول أو الطويلة (Longueur ou Norme). في هذا الدرس الثاني، سننتقل إلى مستوى أعمق وأكثر أهمية هندسياً، ألا وهو دراسة شروط تساوي شعاعين، والربط الهندسي المباشر بين تساوي الشعاعين ومفهوم متوازي الأضلاع (Parallélogramme)، بالإضافة إلى التعرف على الشعاعين المتعاكسين (Vecteurs opposés) ودورهما في تبسيط الحسابات الشعاعية. تعتبر هذه المفاهيم حجر الأساس لحل أغلب مسائل الهندسة المعلمية والدوران والانسحاب في شهادة التعليم المتوسط. > 💡 **تذكير بالمفهوم الأساسي للشعاع :** > الشعاع $\vec{AB}$ معرف بنقطة بداية هي $A$ ونقطة نهاية هي $B$. يرمز له أحياناً بحرف واحد مثل $\vec{u}$ أو $\vec{v}$. نبدأ الآن بتفصيل الشرط الهندسي لتساوي شعاعين. لكي يتساوى شعاعان، يجب أن تتوفر فيهما ثلاثة شروط صارمة ودقيقة لا غنى عن أحدها: 1. **نفس المنحى (Même direction) :** الحاملان لهذين الشعاعين إما متوازيان أو منطبقان. 2. **نفس الاتجاه (Même sens) :** الحركة من بداية الشعاع الأول إلى نهايته تكون في نفس جهة الحركة للشعاع الثاني. 3. **نفس الطول (Même longueur) :** المسافة بين نقطتي البداية والنهاية للشعاع الأول تساوي تماماً المسافة للشعاع الثاني ($AB = CD$). إذا تحققت هذه الشروط الثلاثة بالنسبة للشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{CD}$ ، نكتب رياضياً بكل ثقة: $$\vec{AB} = \vec{CD}$$ --- ## 2. النظريات والقواعد والخواص الهندسية مع البراهين تعتبر المبرهنة المتعلقة بتساوي شعاعين ومتوازي الأضلاع من أهم الأدوات البرهانية في الرياضيات للسنة الرابعة متوسط. إليك الصياغة الرياضية الدقيقة لهذه الخاصية الأساسية: > 📐 **المبرهنة الأساسية لتساوي شعاعين ومتوازي الأضلاع :** > ليكن $A$ ، $B$ ، $C$ و $D$ أربع نقاط مستوية ليست على استقامية واحدة. القول بأن $\vec{AB} = \vec{CD}$ يكافئ تماماً أن الرباعي $ABDC$ (انتبه جيداً لترتيب الرؤوس المتسلسل) هو متوازي أضلاع. لنفهم جيداً أهمية ترتيب الرؤوس في هذه الخاصية الهندسية، يجب أن نلاحظ أن المساواة $\vec{AB} = \vec{CD}$ تعني هندسياً أن الانتقال من $A$ إلى $B$ يوافق تماماً الانتقال من الأصل $C$ إلى الهدف $D$. هذا التناظر يفرض حتمية أن يكون الرباعي الناتج عند ربط النقاط بترتيبها $A$ ثم $B$ ثم $D$ ثم $C$ (أي $ABDC$) هو متوازي أضلاع، وليس $ABCD$ العادي. > 🛠️ **البرهان الهندسي المختصر والمنهجي :** > - لنفرض أن $\vec{AB} = \vec{CD}$. من تساوي الشعاعين نستنتج أن القطعتين $[AD]$ و $[BC]$ لهما نفس المنتصف، أو بطريقة أخرى، المستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان و $AB = CD$. > - حسب خواص الرباعي الذي فيه ضلعان متقابلان متطايقان ومتوازيان، فإن الرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع. > - والعكس صحيح تماماً: إذا كان $ABDC$ متوازي أضلاع، فإن الشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{CD}$ لهما نفس المنحى ونفس الاتجاه ونفس الطول، إذن $\vec{AB} = \vec{CD}$. نتطرق الآن إلى مفهوم هندسي هام جداً وهو **الشعاعان المتعاكسان (Vecteurs opposés)**. > 📐 **تعريف الشعاعين المتعاكسان :** > يقال عن الشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{BA}$ إنهما شعاعان متعاكسان. نكتب العلاقة الجبرية التالية: > $\vec{BA} = -\vec{AB}$ > ويتميز الشعاعان المتعاكسان بأنهما لهما نفس المنحى، نفس الطول، ولكن **اتجاهان متعاكسان تماماً**. من هذا التعريف، نشتق القاعدة الذهبية لمجموع شعاعين متعاكسين والتي ترتبط ارتباطاً وثيقاً بـعلاقة شال (Relation de Chasles) الشهيرة: $$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$$ حيث $\vec{0}$ يمثل الشعاع المعدوم (Vecteur nul) الذي طوله معدوم وليس له منحى ولا اتجاه محدد، ونقطة بدايته تنطبق على نقطة نهايته. --- ## 3. أمثلة وتطبيقات عددية وهندسية محلولة خطوة بخطوة لترسيخ المفاهيم السابقة في ذهنيك عزيزي التلميذ، إليك تطبيقات هندسية نموذجية تحاكي أسئلة امتحان شهادة التعليم المتوسط. ### التطبيق الأول : إثبات متوازي أضلاع باستخدام الأشعة **النص :** ABC$ مثلث كيفي في المستوي. ليكن $M$ منتصف القطعة المستقيمة $$[BC]$$. أنشئ النقطة $D$ صوره النقطة $A بالانسحاب الذي شعاعه $\vec{BM}$. أثبت أن الرباعي $ABDM$ متوازي أضلاع، ثم استنتج مساواة شعاعية أخرى. **الحل النموذجي المنهجي :** 1. بما أن النقطة $D$ هي صورة النقطة $A$ بالانسحاب الذي شعاعه $\vec{BM}$ ، فهذا يعني مباشرة وحسب تعريف الانسحاب أن: $$\vec{AD} = \vec{BM}$$ 2. بما أن $M$ هي منتصف القطعة $[BC]$ ، فإن الشعاع $\vec{BM}$ يساوي الشعاع $\vec{MC}$ ، أي أن: $$\vec{BM} = \vec{MC}$$ 3. من المساوتين الشعاعيتين السابقتين، نجد أن: $$\vec{AD} = \vec{MC}$$ 4. بما أن $\vec{AD} = \vec{MC}$ ، فهذا يعني أن الرباعي $ADCM$ متوازي أضلاع (انتبه لترتيب الرؤوس). 5. أما لإثبات أن $ABDM$ متوازي أضلاع، فنستعمل المعطيات الأوليّة حيث $\vec{AD} = \vec{BM}$ تكافئ أن الرباعي $ABDM$ متوازي أضلاع (حسب الخاصية المدرسورة حيث $A$ نظير $D$ بالنسبة لـ $\vec{BM}$). ### التطبيق الثاني : التعامل مع الأشعة المتعاكسة وتبسيط المجموع الشعاعي **النص :** بسط العبارات الشعاعية التالية مستخدماً علاقة شال وخاصية الأشعة المتعاكسة: - العبارة الأولى : $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$ - العبارة الثانية : $\vec{v} = \vec{MN} - \vec{MP} + \vec{NP}$ **الحل النموذجي المفصل :** - تبسيط العبارة الأولى $\vec{u}$ : بتطبيق علاقة شال على الحدين الأولين: $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$ نضيف الآن الحد الأخير $\vec{CA}$: $$\vec{u} = \vec{AC} + \vec{CA}$$ بما أن الشعاعين $\vec{AC}$ و $\vec{CA}$ متعاكسان ($\vec{CA} = -\vec{AC}$)، تصبح العبارة: $$\vec{u} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}$$ إذن النتيجة النهائية هي الشعاع المعدوم $\vec{0}$. - تبسيط العبارة الثانية $\vec{v}$ : نتعامل أولاً مع الإشارة السالبة بتحويلها إلى شعاع متعاكس: $$- \vec{MP} = \vec{PM}$$ تصبح العبارة مكتوبة هكذا: $$\vec{v} = \vec{MN} + \vec{PM} + \vec{NP}$$ نرتب الحدود باستبدال الترتيب بناءً على تبديل الأماكن في الجمع الشعاعي: $$\vec{v} = \vec{PM} + \vec{MN} + \vec{NP}$$ بتطبيق علاقة شال تدريجياً: $$\vec{PM} + \vec{MN} = \vec{PN}$$ ثم نضيف الشعاع الأخير: $$\vec{v} = \vec{PN} + \vec{NP}$$ وبما أن $\vec{NP} = -\vec{PN}$ ، فإن: $$\vec{v} = \vec{PN} - \vec{PN} = \vec{0}$$ --- ## 4. تمرين نموذجي على طريقة شهادة التعليم المتوسط مع سلم التنقيط إليك عزيزي التلميذ تمريناً شاملاً من مستويات شهادة التعليم المتوسط، مصحوباً بسلم التنقيط الرسمي لتعلم منهجية الإجابة النموذجية التي ينتظرها المصححون. **نص التمرين النموذجي :** المستوي مزود بعلم متجانس ومتعامد $(O, \, \vec{j})$. اعتبر النقاط الثلاث إحداثياتها كالتالي: $A(-1 \,;\, 2)$ ، $B(3 \,;\, 4)$ و $C(1 \,;\, -2)$. 1. احسب مركبتي الشعاع $\vec{AB}$. (1 نقطة) 2. أوجد إحداثيات النقطة $D$ حتى يكون الرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع. (1.5 نقطة) 3. برهن أن النقطة $C$ هي منتصف القطعة المستقيمة المتشكلة بين نقطتين مناسبتين، أو تحقق أن $\vec{AC} = \vec{DB}$. (1.5 نقطة) **الإجابة النموذجية مع سلم التنقيط التفصيلي :** 1. حساب مركبتي الشعاع $\vec{AB}$ : القانون العام لمركبتي شعاع هو $\vec{AB}(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)$. بالتعويض بالأعداد المعطاة: $\vec{AB}(3 - (-1) \,;\, 4 - 2)$ إذن النتيجة هي: $\vec{AB}(4 \,;\, 2)$ - سلم التنقيط : كتابة القانون أو التعويض الصحيح (0.5 ن)، النتيجة النهائية الصحيحة (0.5 ن). 2. إيجاد إحداثيات النقطة $D(x_D \,;\, y_D)$ حتى يكون $ABDC$ متوازي أضلاع : لكي يكون الرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع، يجب أن يتحقق الشرط الشعاعي: $$\vec{AB} = \vec{CD}$$ نحسب مركبتي الشعاع $\vec{CD}$ بدلالة إحداثيات النقطة $D$: $\vec{CD}(x_D - 1 \,;\, y_D - (-2))$ أي $\vec{CD}(x_D - 1 \,;\, y_D + 2)$ بما أن $\vec{AB} = \vec{CD}$ ، تتطابق المركبات: $x_D - 1 = 4 \implies x_D = 4 + 1 = 5$ $y_D + 2 = 2 \implies y_D = 2 - 2 = 0$ إذن إحداثيات النقطة هي $D(5 \,;\, 0)$. - سلم التنقيط : كتابة الشرط الشعاعي $\vec{AB} = \vec{CD}$ أو التعبير عن تساوي المركبات (0.5 ن)، حساب الفاصلة $x_D$ بتمعن (0.5 ن)، حساب الترتيبة $y_D$ وإعطاء الإحداثيات النهائية (0.5 ن). 3. التحقق من أن $\vec{AC} = \vec{DB}$ : نحسب أولاً مركبتي الشعاع $\vec{AC}$: $\vec{AC}(1 - (-1) \,;\, -2 - 2) \implies \vec{AC}(2 \,;\, -4)$ نحسب ثانياً مركبتي الشعاع $\vec{DB}$: بما أن $D(5 \,;\, 0)$ و $B(3 \,;\, 4)$: $\vec{DB}(3 - 5 \,;\, 4 - 0) \implies \vec{DB}(-2 \,;\, 4)$ نلاحظ أن مركبتي $\vec{AC}$ هما $(2 \,;\, -4)$ ومركبتي $\vec{DB}$ هما $(-2 \,;\, 4)$ ، وهما شعاعان متعاكسان أي $\vec{AC} = -\vec{DB}$. - سلم التنقيط : حساب مركبات الشعاع الأول بدقة (0.5 ن)، حساب مركبات الشعاع الثاني بدقة (0.5 ن)، استنتاج العلاقة والتعليق الرياضي السليم (0.5 ن). --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي وبناتي تلاميذ الرابعة متوسط، الوصول إلى العلامة الكاملة في مادة الرياضيات في شهادة التعليم المتوسط ليس مستحيلاً، بل يتطلب الانضباط المنهجي والتركيز العالي. إليك أهم خلاصات هذا الدرس وأبرز النصائح لتفادي الأخطاء التي يقع فيها أغلب الممتحنين: > 📌 **الخلاصة الذهبية :** > - تساوي شعاعين $\vec{AB} = \vec{CD}$ يعني هندسياً أن الرباعي **$ABDC$** (لاحظ ترتيب الرؤوس جيداً وليس $ABCD$) هو متوازي أضلاع. > - الشعاعان المتعاكسان هما شعاعان لهما نفس الطول ونفس المنحى ولكن اتجاهين متعاكسين، ونكتب $\vec{AB} = -\vec{BA}$ أو $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$. > - عند حساب إحداثيات شعاع، ابدأ دائماً بنهاية الشعاع مطروحاً منها بداية الشعاع، واحذر تماماً من خلط الترتيب ($x_B - x_A$ وليس العكس). > ⚠️ **تنبيهات هامة ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة في امتحان BEM :** > 1. **خطأ ترتيب الرؤوس في متوازي الأضلاع :** عندما يطلب منك إثبات أن رباعياً ما متوازي أضلاع باستخدام الأشعة، انتبه جداً لأسماء النقاط. إذا كتبت $\vec{AB} = \vec{DC}$ فهذا يعني أن $ABCD$ متوازي أضلاع، أما إذا كتبت $\vec{AB} = \vec{CD}$ فهذا يعني أن $ABDC$ هو متوازي الأضلاع. الخلط هنا يكلفك ضياع نقطة كاملة مجاناً! > 2. **الأخطاء الحسابية في الإشارات :** عند التعامل مع الإحداثيات التي تحتوى على أعداد سالبة (مثل $x_A = -1$)، استعمل الأقواس لتفادي الخطأ في الحساب ($\,3 - (-1) = 3 + 1 = 4\,$). > 3. **كتابة رمز الشعاع :** لا تنس أبداً وضع سهم الشعاع فوق الحرفين في ورقة الإجابة ($\vec{AB}$ بدلاً من كتابة $AB$ القطعة المستقيمة أو الطول)، فالمصحح في شهادة التعليم المتوسط صارم جداً من الناحية الرمزية والرياضية. ثق بنفسك، وتدرب جيداً على حل التمارين المتنوعة، وكل التوفيق لك في دروب التميز والنجاح في شهادة التعليم المتوسط BEM 2027 بحول الله!