الدرس 1 : مفهوم الانسحاب وتوجيه المستوي ومفهوم الشعاع وعناصره المميزة

## 1. وضعية الانطلاق والمفاهيم الأساسية أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط (4AM) في هذا الدرس التأسيسي الهام ضمن ميدان هندسة الفضاء والمستوي، والذي يشكل حجر الأساس لامتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM). سنتناول اليوم مفهوم الانسحاب (Translation) وتوجيه المستوي، بالإضافة إلى مفهوم الشعاع (Vecteur) وعناصره الأساسية التي لا غنى عنها في حل المسائل الهندسية والإحداثية. نبدأ أولاً بتعريف التحويل النقطي المسمى الانسحاب (Translation). الانسحاب هو تحويل نقطي يحرك كل نقطة من المستوي في نفس المنحى، ونفس الاتجاه، وبنفس الطول (المسافة). وللانسحاب خواص هندسية مقدسة تحافظ عليها جميع الأشكال في المستوي، وهي: - المحافظة على الأشكال والأبعاد. - المحافظة على المساحات. - المحافظة على الاستقامية (نقاط على استقامية تبقى على استقامية). - المحافظة على قياس الزوايا. لكي نتمكن من إحداث هذا الانتقال رياضياً، نلجأ إلى مفهوم الشعاع (Vecteur). إذا انتقلنا من النقطة $A$ إلى النقطة $B$ وفق حركة توجيهية محددة، فإننا نعرّف الشعاع المرمز له بـ $\vec{AB}$. للشعاع $\vec{AB}$ مبدأ وهو النقطة $A$ ونهاية وهو النقطة $B$. يتميز أي شعاع في المستوي بثلاثة عناصر أساسية لا بد من ضبطها بدقة: 1. المنحى (Direction) : ويتمثل في المستقيم الحامل للشعاع $\vec{AB}$ (أي المستقيم $(AB)$) وكل المستقيمات التي توازيه. 2. الاتجاه (Sens) : وهو جهة الحركة، وتحديداً من المبدأ $A$ نحو النهاية $B$ (يختلف تماماً عن اتجاه الشعاع $\vec{BA}$). 3. الطول أو المعيار (Longueur / Norme) : وهو المسافة الفاصلة بين المبدأ والنهاية، ويرمز له بالرمز $AB = \|\vec{AB}\|$. حالة خاصة هامة جداً: إذا كانت النقطة تنطبق على نفسها، أي أننا ننتقل من النقطة $A$ إلى نفس النقطة $A$， فإننا نحصل على ما يسمى الشعاع المعدوم (Vecteur nul)، ويرمز له بـ $\vec{0}$. مبدأه ونهايته تنطبقان، وطوله يساوي الصفر، أي $\vec{AA} = \vec{0}$. ## 2. النظريات والقواعد والخواص الهندسية مع البراهين > 📐 **خاصية تساوي شعاعين :** > يكون الشعاعان $\vec{AB}$ و $\vec{CD}$ متساويين، ونكتب $\vec{AB} = \vec{CD}$ ، إذا وفقط إذا كان لهما نفس المنحى، نفس الاتجاه، ونفس الطول. تترجم هذه الخاصية هندسياً بشكل مباشر عبر الأشكال المألوفة لدينا، وتحديداً متوازي الأضلاع الذي يعد الأداة البرهانية الأهم في شهادة التعليم المتوسط. > 📐 **خاصية متوازي الأضلاع والشعاعين :** > $\vec{AB} = \vec{DC}$ تكافئ هندسياً أن الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع (انتبه جيداً لترتيب الحروف واتجاه الأشعة). > 📐 **خاصية منتصف قطعة مستقيم :** > إذا كان المدافع $M$ منتصف القطعة المستقيمة $[AB]$ ، فإن الشعاعين $\vec{AM}$ و $\vec{MB}$ متساويان، ونكتب: > $\vec{AM} = \vec{MB}$ > وكذا العلاقة الشعاعية المرتبطة بالمنتصف لأي نقطة $M$ من المستوي: > $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MM}'$ > أو باستخدام علاقة شال (Relation de Chasles) الشهيرة لجمع الأشعة: > $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ > حيث تمثل علاقة شال القاعدة الذهبية لدمج الأشعة في المستوي الموجه. **برهان خاصية متوازي الأضلاع :** لنفرض أن $\vec{AB} = \vec{DC}$. هذا يعني أن التحويل الذي ينقل $A$ إلى $B$ هو نفس التحويل الذي ينقل $D$ إلى $C$. إذن، القطعتان $[AC]$ و $[BD]$ لهما نفس المنتصف. وبما أن قطري الرباعي $ABCD$ يتصفان بهذه الخاصة، فإن الرباعي $ABCD$ حتماً متوازي أضلاع. والعكس صحيح تماماً. ## 3. أمثلة وتطبيقات عددية وهندسية محلولة خطوة بخطوة **تطبيق 1 : (تحديد عناصر الشعاع وتساوي شعاعين)** نعتبر في المستوي الموجه، المزود بمعلم متعامد ومتجانس، النقاط الآتية: $A(1 \,;\, 2)$ و $B(4 \,;\, 6)$ و $C(2 \,;\, -1)$ و $D(5 \,;\, 3)$. 1. احسب إحداثيات الشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{DC}$. 2. ماذا تستنتج بالنسبة للرباعي $ABCD$ ؟ *الحل النموذجي المفصل:* 1. حساب إحداثيات الشعاع $\vec{AB}$ وفق دستور الإحداثيات: $$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 4 - 1 = 3$$ $$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 6 - 2 = 4$$ إذن إحداثيات الشعاع هي $\vec{AB}(3 \,;\, 4)$. حساب إحداثيات الشعاع $\vec{DC}$ بنفس الطريقة: $$x_{\vec{DC}} = C_x - D_x = 2 - 5 = -3$$ $$y_{\vec{DC}} = C_y - D_y = -1 - 3 = -4$$ إذن إحداثيات الشعاع هي $\vec{DC}(-3 \,;\, -4)$. نلاحظ هنا أن $\vec{AB} \neq \vec{DC}$ لأن الإحداثيات غير متساوية، بل هما متعاكسان، أي $\vec{AB} = -\vec{DC}$. 2. الاستنتاج: بما أن $\vec{AB} = -\vec{DC}$ ، فهذا يعني أن الشعاعين غير متساويين، وبالتالي الرباعي $ABCD$ ليس متوازي أضلاع بل متوازي أضلاع معاكس الترتيب أو شكلاً هندسياً آخر (مثل شبه منحرف أو ضلعين متوازيين فقط). لتصحيح ذلك، لو أخذنا النقطة $D'(5 \,;\, 3)$ بحيث يكون الترتيب $ABCD$ متوازي أضلاع، لوجدنا $\vec{AB} = \vec{DC}$. دعونا نتحقق من الشعاع $\vec{DC'}$ حيث $C'(5 \,;\, 5)$ مثلاً. الرياضيات تحترم الدقة المنهجية المطلقة. **تطبيق 2 : (استخدام علاقة شال هندسياً)** بسط العبارة التالية باستخدام علاقة شال (Relation de Chasles): $$\vec{U} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$$ *الحل:* بتطبيق علاقة شال تدريجياً: $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$ ثم نضيف الشعاع الأخير: $$\vec{U} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$$ إذن النتيجة المبسطة هي الشعاع $\vec{AD}$. ## 4. تمرين نموذجي على طريقة شهادة التعليم المتوسط مع سلم التنقيط إليك التمرين النموذجي المقترح بصيغة امتحانات شهادة التعليم المتوسط (BEM): **النص :** المستوي الموجه إلى معلم متعامد ومتجانس $(O, I, J)$. نعتبر النقاط الثلاث: $A(-1 \,;\, 1)$ و $B(3 \,;\, 4)$ و $C(7 \,;\, 1)$. 1. أ) احسب مركبتي الشعاع $\vec{AB}$. (0.75 ن) ب) احسب المسافة $AB$ (طول الشعاع). (0.75 ن) 2. لتكن النقطة $D$ صورة النقطة $C$ بالانسحاب الذي شعاعه $\vec{AB}$. أ) أوجد إحداثيات النقطة $D$. (1.0 ن) ب) استنتج طبيعة الرباعي $ABCD$ مع التعليل الرياضي الدقيق. (0.5 ن) --- **الإجابة النموذجية المفصلة وسسلم التنقيط الرسمي :** 1. أ) حساب مركبتي الشعاع $\vec{AB}$: - كتابة القانون أو التعويض الصحيح: $x_{\vec{AB}} = 3 - (-1) = 4$ (0.25 ن) - حساب الترتيبة: $y_{\vec{AB}} = 4 - 1 = 3$ (0.25 ن) - كتابة النتيجة النهائية بوضوح: $\vec{AB}(4 \,;\, 3)$ (0.25 ن) ب) حساب المسافة $AB$: - كتابة الدستور العام للجذر التربيعي: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ (0.25 ن) - التعويض بالأعداد: $AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2}$ (0.25 ن) - إيجاد النتيجة النهائية: $AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ وحدة طول (0.25 ن) 2. أ) إيجاد إحداثيات النقطة $D(x_D \,;\, y_D)$ : - بما أن $D$ صورة $C$ بالانسحاب الذي شعاعه $\vec{AB}$ ، فهذا معناه أن $\vec{CD} = \vec{AB}$ (0.25 ن) - حساب مركبتي الشعاع $\vec{CD}(x_D - 7 \,;\, y_D - 1)$ (0.25 ن) - مساواة المركبتين: $x_D - 7 = 4 \implies x_D = 11$ (0.25 ن) - ومساواة الترتيبات: $y_D - 1 = 3 \implies y_D = 4$. إذن $D(11 \,;\, 4)$ (0.25 ن) ب) استنتج طبيعة الرباعي $ABCD$: - بما أن $\vec{CD} = \vec{AB}$ (0.25 ن) - فإن الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع (0.25 ن) ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي الطلبة، إن محور الأشعة والانسحاب في شهادة التعليم المتوسط (BEM) هو باب من أبواب العلامة الكاملة شريطة التحلي بالدقة المنهجية والانضباط الرياضي. إليكم أهم النصائح والتوجيهات لتفادي الأخطاء الشائعة في الامتحانات الرسمية: 1. احترام اتجاه الحروف في الأشعة : خطأ شائع جداً هو الخلط بين $\vec{AB}$ و $\vec{BA}$. تذكروا دائماً أن $\vec{BA} = -\vec{AB}$ ، وعكس اتجاه الشعاع يغير الإشارة تماماً ولا يقبل التسامح في التصحيح الوزاري. 2. الدقة في كتابة الإحداثيات : عند حساب إحداثيات شعاع $\vec{AB}(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)$ ، ابدأ دائماً بنهاية الشعاع ($B$) واطرح منها مبدأ الشعاع ($A$). الخطأ في ترتيب الإحداثيات يؤدي مباشرة إلى ضياع نقاط السؤال بأكمله. 3. استخدام الأقواس والفواصل : إحداثيات النقاط والأشعة تكتب دائماً داخل أقواس فاصلة بينها منقوطة هكذا $(x \,;\, y)$ وليست فاصلة عادية لتجنب الخلط مع الأعداد العشرية. 4. الربط بين الهندسة والحساب : تذكروا دائماً أن كل علاقة شعاعية مثل $\vec{AB} = \vec{DC}$ ترجمتها الهندسية الفورية هي أن $ABCD$ متوازي أضلاع، والعكس صحيح. هذه الخاصية تختصر عليكم الكثير من البرهان في المسائل المركبة. ثقوا بأنفسكم، فالرياضيات مادة فهم ومنهج وليست حفظاً، ونتمنى لكم كل التوفيق والنجاح في شهادة التعليم المتوسط دورة 2027.