الدرس 2 : القواسم المشتركة وتحديد PGCD بالقوائم

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts) مرحباً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط (4AM) في هذا الدرس الهام ضمن مسيرتكم التحضيرية لشهادة التعليم المتوسط (BEM 2027). بصفتي مفتشاً تربوياً، أؤكد لكم أن محور الأوليات الحسابية، وتحديداً القواسم المشتركة والـ PGCD، يمثل حجر الأساس لضمان العلامة الكاملة في التمارين الأولى من مواضيع شهادة التعليم المتوسط. في حياتنا اليومية والرياضية، غالباً ما نحتاج إلى تقسيم مجموعة من العناصر المتجانسة إلى حصص متساوية، أو تبسيط أعداد كبرى إلى أبسط صورها. من هنا تنطلق حاجتنا الملحة لدراسة "القواسم" (Diviseurs). عندما نتعامل مع عددين طبيعيين أو أكثر، فإننا لاندريس فقط قواسم كل عدد على حدة، بل نبحث عن **القواسم المشتركة** (Diviseurs communs) بينهما. وأهم عنصر في هذه المجموعة هو **القاسم المشترك الأكبر** الذي نرمز له بـ **PGCD** (Plus Grand Commun Diviseur)، والذي يكتب بالرياضيات العربية: **ق.م.أ**. في هذا الدرس (الدرس 2)، سنتناول الطريقة الأساسية والمنهجية الأولى لتحديد القواسم المشتركة واستنتاج الـ PGCD باستخدام **قوائم القواسم** (La méthode des listes)، وهي طريقة بالغة الأهمية لفهم المعنى الرياضي العميق للـ PGCD قبل الانتقال إلى خوارزميات الطرح المتتالي والقاسم الأكبر (إسقاط إقليدس). --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict) ### أ. تعريف قاسم عدد طبيعي (Diviseur d'un nombre entier naturel) ليكن $a$ و $b$ عددين طبيعيين حيث $b \neq 0$. نقول إن $b$ قاسم للعدد $a$ (أو $a$ يقبل القسمة على $b$) إذا وفقط إذا كان باقي القسمة الإقليدية لـ $a$ على $b$ معدوماً (يساوي الصفر). ويكتب ذلك رياضياً على النحو التالي: $$a = b \times q$$ حيث $q$ هو حاصل القسمة التام (عدد طبيعي). نرمز لمجموعة قواسم عدد طبيعي $a$ بالرمز $D_a$. ### ب. القواسم المشتركة لمجموعة أعداد (Diviseurs communs) القاسم المشترك لعدديْن طبيعيين $a$ و $b$ هو كل عدد طبيعي يقسم $a$ في نفس الوقت ويقسم $b$. بمعنى آخر، مجموعة القواسم المشتركة للعدديْن $a$ و $b$ هي تقاطع مجموعتي قواسمهما: $$D_a \cap D_b$$ ### ج. القاسم المشترك الأكبر PGCD القاسم المشترك الأكبر لعدديْن طبيعيين غير معدومين $a$ و $b$ هو أكبر عنصر في مجموعة القواسم المشتركة للعدديْن $a$ و $b$. ونرمز له بالرمز: $$\text{PGCD}(a, b)$$ أو بالعربية: $$\text{ق.م.أ}(a, b)$$ ### د. الخواص الأساسية للـ PGCD (Propriétés fondamentales) 1. إذا كان $a$ مضاعفاً لـ $b$ (أي $a$ يقبل القسمة على $b$)، فإن: $$\text{PGCD}(a, b) = b$$ 2. لأي عدد طبيعي غير معدوم $a$: $$\text{PGCD}(a, 1) = 1 \quad \text{و} \quad \text{PGCD}(a, a) = a$$ 3. القواسم المشتركة لعدديْن $a$ و $b$ هي نفسها قواسم عددهم الأكبر المشترك $\text{PGCD}(a, b)$. هذه الخاصية الهامة تمكننا من كتابة: $$D_a \cap D_b = D_{\text{PGCD}(a, b)}$$ --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces) ### المثال الأول: إيجاد القواسم المشتركة و الـ PGCD بالطريقة المنهجية للقوائم **السؤال:** 1. أوجد مجموعة قواسم العدد $24$ (أي $D_{24}$). 2. أوجد مجموعة قواسم العدد $36$ (أي $D_{36}$). 3. استنتج مجموعة القواسم المشتركة للعدديْن $24$ و $36$. 4. عين القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(24, 36)$. **الحل النموذجي المفصل:** 1. لإيجاد قواسم العدد $24$ ($D_{24}$)، نبحث عن كل الجداءات لأعداد طبيعية التي نتيجتها $24$ ، بترتيب تصاعدي لتفادي النسيان: - $24 = 1 \times 24$ - $24 = 2 \times 12$ - $24 = 3 \times 8$ - $24 = 4 \times 6$ إذن، مجموعة قواسم العدد $24$ هي: $$D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$$ 2. بنفس الطريقة، نحدد قواسم العدد $36$ ($D_{36}$): - $36 = 1 \times 36$ - $36 = 2 \times 18$ - $36 = 3 \times 12$ - $36 = 4 \times 9$ - $36 = 6 \times 6$ إذن، مجموعة قواسم العدد $36$ هي: $$D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$$ 3. لاستنتاج مجموعة القواسم المشتركة، نقوم بعملية تقاطع المجموعتين ($D_{24} \cap D_{36}$)، أي نحدد العناصر الموجودة في القائمتين معاً: - العناصر المشتركة هي: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. إذن: $$D_{24} \cap D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$$ 4. استنتاج القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(24, 36)$: هو أكبر عنصر في مجموعة القواسم المشتركة التي وجدناها للتو، وهو العدد $12$. $$\text{PGCD}(24, 36) = 12$$ --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة التعليم المتوسط (BEM) مع سلم التنقيط (Exercice type officiel avec barème) إليك عزيزي التلميذ تمريناً مستوحى مباشرة من مواضيع شهادة التعليم المتوسط الرسمية، مصحوباً بسلم التنقيط النموذجي لتتدرب على المنهجية الصارمة للتصحيح. ### التمرین المقترح: العددان الطبيعيان $a$ و $b$ حيث: $a = 45$ و $b = 60$. 1. أكتب مجموعة قواسم كل من العددين $a$ و $b$. ($D_{45}$ و $D_{60}$) $[01{,}5 نقطة]$ 2. استنتج مجموعة القواسم المشتركة للعدديْن $a$ و $b$. $[01{,}0 نقطة]$ 3. أحسب $\text{PGCD}(45, 60)$. $[00{,}5 نقطة]$ 4. فسر ماذا يمثل هذا العدد بالنسبة لتبسيط الكسر $\frac{45}{60}$. $[01{,}0 نقطة]$ --- ### الإجابة النموذجية وسلم التنقيط الرسمي: 1. **إيجاد مجموعتي القواسم ($D_{45}$ و $D_{60}$):** $[01{,}5 نقطة]$ - $45 = 1 \times 45$ - $45 = 3 \times 15$ - $45 = 5 \times 9$ إذن: $D_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$ *(تمنح 0,75 نقطة)*. - $60 = 1 \times 60 = 2 \times 30 = 3 \times 20 = 4 \times 15 = 5 \times 12 = 6 \times 10$ إذن: $D_{60} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$ *(تمنح 0,75 نقطة)*. 2. **استنتاج مجموعة القواسم المشتركة:** $[01{,}0 نقطة]$ - القواسم المشتركة بين $45$ و $60$ هي العناصر الموجودة في القائمتين معاً: $$D_{45} \cap D_{60} = \{1, 3, 5, 15\}$$ *(تمنح 1,0 نقطة كاملة لمن يكتب المجموعة صحيحة).* 3. **حساب $\text{PGCD}(45, 60)$:** $[00{,}5 نقطة]$ - أكبر عنصر في القواسم المشتركة هو $15$. $$\text{PGCD}(45, 60) = 15$$ *(تمنح 0,5 نقطة).* 4. **تفسير دور الـ PGCD في تبسيط الكسر $\frac{45}{60}$:** $[01{,}0 نقطة]$ - يمثل القاسم المشترك الأكبر $(\text{PGCD})$ أكبر عدد يمكن قسمة كل من بسط ومقام الكسر عليه لجعله **كسراً غير قابل للاختزال** (Fraction irréductible). - التطبيق العددي: $$\frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4}$$ *(تمنح 0,5 نقطة لكتابة التفسير و 0,5 نقطة للكسر الناتج غير القابل للاختزال).* --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة (Synthèse et pièges à éviter) أبنائي الطلبة، بصفتي مشرفاً ومصححاً رئيسياً لأوراق امتحان شهادة التعليم المتوسط لسنوات عديدة، أود أن أضع بين أيديكم هذه التوجيهات الذهبية لتفادي الأخطاء المتكررة التي توقع الكثير من الممتازين في فخ خسارة النقاط: ### أ. نصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة: 1. **خطأ النسيان في القوائم:** عند كتابة قواسم عدد معين (مثل $60$ أو $36$)، يميل الطلاب أحياناً إلى كتابة القواسم عشوائياً مما يجعلهم ينسون بعضها (مثل نسيان العدد $2$ أو $3$ أو $4$). **الحل:** دائماً استخدم طريقة الجداءات التصاعدية الزوجية ($1 \times N$, $2 \times \dots$) ورتبها تصاعدياً من الأصغر إلى الأكبر داخل العارضة `{ }`. 2. **الخلط بين القواسم والمضاعفات:** إياك أن تخلط بين قواسم العدد (وهي مجموعة **منتهية**) ومضاعفات العدد (وهي مجموعة **غير منتهية** ترمز بـ $M_a$). 3. **الترميز الرياضي:** احرص على استخدام رموز المجموعات بشكل دقيق مثل علامة التقاطع ($\cap$) واستخدام الأقواس المعقوفة `{ }` الخاصة بالمجموعات وليس الأقواس العادية `( )`. 4. **حدود طريقة القوائم:** طريقة القوائم ممتازة ومطلوبة عندما يكون العددان صغيرين. أما إذا كان العددان كبيرين جداً (مثل $1254$ و $432$) فإن طريقة القوائم ستكون طويلة ومستحيلة عملياً، وهنا سننتقل في **الدرس القادم** إلى طريقتين احترافيتين أسرع وأقوى بكثير: *خوارزمية الطرح المتتالي* و*خوارزمية إقليدس (القسمات الإقليدية المتتالية)*. بالتوفيق والنجاح الدائمين، ونتطلع لرؤيتكم جميعاً من ناجحي دورة BEM 2027 بتقدير ممتاز بإذن الله!