الدرس 1 : قاسم عدد طبيعي وقواعد قابلية القسمة

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts) أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط (4AM) في هذا الدرس الافتتاحي الهام ضمن وحدة **الأрифметиكة وتسيير الكسور (Arithmétique et manipulation des fractions)**. بصفتي أستاذاً ومفتشاً، أؤكد لكم أن هذا الدرس يمثل حجر الأساس لضمان العلامة الكاملة (20/20) في الجزء الأول من امتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM)، سيما وأنه يرتبط مباشرة بتمارين حساب القاسم المشترك الأكبر (`PGCD`) وتخزيل الكسور (Fractions irréductibles). في الحياة اليومية وفي الرياضيات، غالباً ما نحتاج إلى توزيع كميات معينة بالتساوي دون فضلات (reste nul). من هنا نبع مفهوم **قاسم عدد طبيعي (Diviseur d'un nombre entier naturel)** وقابلية القسمة (Divisibilité). عندما نقسم عددًا على عدد آخر ويكون الباقي معدومًا، فإننا نؤسس لعلاقة رياضية متينة تحكمها قواعد بسيطة لكنها بالغة الأهمية لتوفير الوقت والجهد أثناء الحل في الامتحان الرسمي. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/ العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict) ### أ. تعريف قاسم عدد طبيعي (Définition d'un diviseur) ليكن $a$ و $b$ عددين طبيعيين حيث $b \neq 0$. نقول إن **قاسم** للعدد $a$ (أو إن $a$ يقبل القسمة على $b$) إذا وفقط إذا كان **باقي** القسمة الإقلاعية (Division euclidienne) للعدد $a$ على $b$ يساوي **صفراً**. ويُكتب رياضياً بالشكل الآتي: $$a = b \times q$$ حيث `q` هو حاصل القسمة (Quotient) وهو عدد طبيعي أيضاً. ### ب. قواعد قابلية القسمة الشهيرة (Critères de divisibilité) لتجنب تضييع الوقت في القسمة الإقليدية الطويلة أثناء امتحان الـ `BEM`، يجب إتقان القواعد الأساسية التالية: 1. **القسمة على $2$ (Divisibilité par $2$):** يقبل عدد طبيعي القسمة على $2$ إذا كان رقمه الأخير (رقم آحاده) زوجياً، أي: $0, 2, 4, 6, 8$. 2. **القسمة على $3$ و $9$ (Divisibilité par 3 et 9):** - يقبل عدد طبيعي القسمة على $3$ إذا كان **مجموع أرقامه** مضاعفاً للعدد $3$. - يقبل عدد طبيعي القسمة على قسط أشد وهو $9$ إذا كان **مجموع أرقامه** مضاعفاً للعدد $9$. 3. **القسمة على $4$ (Divisibilité par $4$):** يقبل عدد طبيعي القسمة على $4$ إذا كان العدد المُشكل من **آحاده وعشراته** معاً يقبل القسمة على $4$ (أي مضاعف للعدد $4$). 4. **القسمة على $5$ (Divisibilité par 5):** يقبل عدد طبيعي القسمة على 5 إذا كان رقمه الأخير إما **0** أو **5**. --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces) ### المثال الأول: استخراج القواسم **السؤال:** أوجد كل قواسم العدد $36$. **الحل النموذجي المنهجي:** لكي لا نغفل عن أي قاسم، نبحث عن كل جداءات الأعداد الطبيعية التي تعطي النتيجة $36$: - $1 \times 36 = 36$ (إذن $1$ و $36$ قواسم) - $2 \times 18 = 36$ (إذن $2$ و $18$ قواسم) - $3 \times 12 = 36$ (إذن $3$ و $12$ قواسم) - $4 \times 9 = 36$ (إذن $4$ و $9$ قواسم) - $6 \times 6 = 36$ (إذن $6$ قاسم) **نصيحة المفتش:** عندما تتلاقى الأعداد في المنتصف (مثل $6 \times 6$) نتوقف عن البحث. إذن مجموعة قواسم العدد $36$ هي: $$D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$$ ### المثال الثاني: تطبيق قواعد قابلية القسمة **السؤال:** إليك العدد المركب $A = 4530$. هل العدد $A$ يقبل القسمة على: $2, 3, 4, 5, 9$ ؟ برر إجابتك. **الحل النموذجي:** - **على $2$:** رقم آحاد $A$ هو $0$ (عدد زوجي)، إذن **نعم** يقبل القسمة على $2$. - **على $3$:** نجمع الأرقام: $4 + 5 + 3 + 0 = 12$. بما أن $12$ مضاعف للعدد $3$ ($3 \times 4 = 12$)، إذن **نعم** يقبل القسمة على$3$. - **على $4$:** العددان الأخيران هما $30$. هل $30$ يقبل القسمة على $4$ ؟ $30 \div 4 = 7{,}5$(ليس عدداً طبيعياً)، إذن **لا** يقبل القسمة على$4$. - **على $5$:** رقم آحاد $A$ هو $0$ ، إذن **نعم** يقبل القسمة على $5$. - **على $9$:** مجموع الأرقام هو $12$. هل $12$ مضاعف لـ $9$ ؟ **لا** (لأن $12$ ليس موجوداً في جدول ضرب $9$)، إذن **لا** يقبل القسمة على $9$. --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة التعليم المتوسط (BEM) مع سلم التنقيط (Exercice type officiel avec barème) إليك تمرين مقترح بقوة، مصمم وفق المنهجية الرسمية لوزارة التربية الوطنية وبسلم تنقيط دقيق. ### النص: 1. ليكن العدد الطبيعي $X = 720$. - أ. هل العدد $X$ يقبل القسمة على $9$ و $5$ في آن واحد؟ برر إجابتك بالحساب. (1,5 نقطة) - ب. عيّن كل قواسم العدد الهام $10$. (1,0 نقطة) 2. يُطلب منك إثبات أن العدد $X$ يقبل القسمة على كل من هذه القواسم بطريقة سريعة. (0,5 نقطة) --- ### التصحيح النموذجي المفصل وسسلم التنقيط: 1. - **أ. البرهان بالنسبة للعدد $9$ و $5$:** *(1,5 ن)* * بالنسبة للعدد $5$: رقم آحاد $X = 720$ هو $0$ ، إذن يقبل القسمة على $5$ **(0,5 ن)**. * بالنسبة للعدد $9$: نحسب مجموع الأرقام: $7 + 2 + 0 = 9$. وبما أن $9$ مضاعف لـ $9$ ، فالعدد يقبل القسمة على $9$ **(0,5 ن)**. * **الاستنتاج:** بما أنه يقبل القسمة على $5$ و $9$ معاً، فهو يقبل القسمة على ضربهما ($9 \times 5 = 45$) **(0,5 ن)**. - **ب. تعيين قواسم العدد $10$:** *(1,0 ن)* قواسم العدد $10$ هي الأعداد التي تقسم $10$ وباقي قسمتها معدوم: $$D_{10} = \{1, 2, 5, 10\}$$ *(توزيع التنقيط: 0,5 نقطة لإيجاد الأربعة أعداد كاملة، 0,5 نقطة لكتابة المجموعة بالشكل الصحيح داخل العارضتين).* 2. **الإثبات السريع:** *(0,5 ن)* بما أن آحاد $720$ هو $0$ فهو يقبل القسمة على $1$ ، $2$ ، $5$ ، و $10$. وبما أن مجموع أرقامه $9$ فهو يقبل القسمة على جميع هذه القواسم دون إجراء القسمة الطويلة. --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة (Synthèse et pièges à éviter) أبنائي الأعزاء، لكي تضمنوا التفوق في مواضيع شهادة التعليم المتوسط، تذكروا جيداً هذه التوجيهات الإمتحانية: * **خطأ شائع يجب تجنبه:** الخلط بين "مجموع الأرقام" و"جداء الأرقام". عندما نختبر القابلية على $3$ أو $9$ ، فإننا نجمع الأرقام ($+$) ولا نضربها أبداً. * **التركيز على الصفر:** الصفر ليس قاسماً لأي عدد لأن القسمة على صفر مستحيلة رياضياً ($b \neq 0$). وأي عدد يقبل القسمة على $1$ وعلى نفسه. * **منهجية البرهان:** في أسئلة "برر إجابتك"، احرص على كتابة القاعدة الحسابية بوضوح (مثلاً: "بما أن مجموع أرقامه يساوي كذا وهو مضاعف لـ..."). المصحح في الـ `BEM` يبحث عن الخطوات المنطقية المدعومة بالحسابات البسيطة. بالتوفيق والنجاح الدائم في مشواركم الدراسي نحو نيل شهادة التعليم المتوسط بامتياز (بمعدل ممتاز في الرياضيات بإذن الله).