قواعد إيجاد الدوال الأصلية (الخطية والمركبة)

## قواعد الحساب التكاملي — الخطية والمركبة ### الخطية في التكامل إذا كانت $F$ دالة أصلية لـ $f$ و $G$ دالة أصلية لـ $g$، فإن: $$\int [\alpha f(x) + eta g(x)]\, dx = \alpha F(x) + eta G(x) + C$$ **مثال:** $$\int (4e^x - \frac{3}{x} + 5)\, dx = 4e^x - 3\ln|x| + 5x + C$$ --- ### تكامل الدوال المركبة — القاعدة الأساسية $$\int u'(x) \cdot [u(x)]^n\, dx = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C \quad (n eq -1)$$ $$\int \frac{u'(x)}{u(x)}\, dx = \ln|u(x)| + C$$ $$\int u'(x) \cdot e^{u(x)}\, dx = e^{u(x)} + C$$ --- ### أمثلة تطبيقية — الدوال المركبة **مثال 1:** $\displaystyle\int \frac{2x+1}{x^2+x+3}\, dx$ نلاحظ أن البسط هو مشتقة المقام: $(x^2+x+3)' = 2x+1$ $$\int \frac{u'(x)}{u(x)}\, dx = \ln|u(x)| + C$$ $$\Rightarrow \int \frac{2x+1}{x^2+x+3}\, dx = \ln(x^2+x+3) + C$$ --- **مثال 2:** $\displaystyle\int (2x-3)e^{x^2-3x}\, dx$ نلاحظ أن $(x^2-3x)' = 2x-3$، إذن: $$\int (2x-3)e^{x^2-3x}\, dx = e^{x^2-3x} + C$$ --- **مثال 3 (بطاقة BAC):** $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$ نكتب: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(x^2+1)'}{\sqrt{x^2+1}}$ $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{x^2+1} + C = \sqrt{x^2+1} + C$$