تعريف الدالة الأصلية وخواصها

## الدالة الأصلية — التعريف والخواص ### تعريف تُسمى الدالة $F$ **دالةً أصليةً** للدالة $f$ على الفترة $I$ إذا كانت: $$F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I$$ **مثال:** الدالة $F(x) = x^2$ هي دالة أصلية للدالة $f(x) = 2x$ لأن $F'(x) = 2x = f(x)$. --- ### نظرية وجود الدالة الأصلية إذا كانت الدالة $f$ **مستمرة** على الفترة $I$، فإنها تقبل دوالاً أصلية على $I$. --- ### خاصية تحديد الدوال الأصلية إذا كانت $F$ و $G$ دالتين أصليتين لـ $f$ على $I$، فإن: $$F(x) - G(x) = C \quad \text{ح\text{يث} } C \in \mathbb{R}$$ أي أن الدوال الأصلية لدالة معطاة تختلف عن بعضها بثابت. > **نتيجة:** مجموعة الدوال الأصلية لـ $f$ هي: $\{F(x) + C \mid C \in \mathbb{R}\}$ --- ### جدول الدوال الأصلية الأساسية | الدالة $f(x)$ | دالة أصلية $F(x)$ | شرط التعريف | |:---:|:---:|:---:| | $x^n$ ($n eq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $x eq 0$ | | $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | | $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $x > 0$ | --- ### إيجاد الدالة الأصلية التي تمر بنقطة معينة **مثال:** أوجد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ مع الشرط $F(1) = 5$. **الحل:** $$F(x) = x^3 - x^2 + x + C$$ بتطبيق الشرط $F(1) = 5$: $$1 - 1 + 1 + C = 5 \implies C = 4$$ $$\boxed{F(x) = x^3 - x^2 + x + 4}$$ ---  *جدول الدوال الأصلية الأساسية*