قانون الاحتمالات الكلية وصيغة بايز

          ┌─ معيب (0.02)  → P = 0.012
   A (0.6)┤
          └─ سليم (0.98)  → P = 0.588
Ω ─┤
          ┌─ معيب (0.05)  → P = 0.020
   B (0.4)┤
          └─ سليم (0.95)  → P = 0.380

## قانون الاحتمالات الكلية وصيغة بايز ### نظام الأحداث الكاملة (Système complet d'événements) الأحداث $A_1, A_2, \ldots, A_n$ تُشكِّل **نظاماً كاملاً** إذا: 1. $A_i \cap A_j = \emptyset$ لكل $i \neq j$ (متنافية). 2. $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega$ (شاملة). --- ### قانون الاحتمالات الكلية إذا كانت $\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$ نظاماً كاملاً، فإنه لأي حادثة $B$: $$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)$$ **في الحالة الثنائية ($n=2$):** $$P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B)$$ **مثال:** مصنعان $A$ ($60\%$) و $B$ ($40\%$). نسبة المعيب من $A$: $2\%$، من $B$: $5\%$. $$P(\text{معيب}) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032$$ --- ### صيغة بايز (Formule de Bayes) $$P_{B}(A_i) = \frac{P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)}{P(B)} = \frac{P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P_{A_j}(B)}$$ **مثال (تابع):** إذا كانت القطعة معيبة، ما احتمال أنها من المصنع $A$؟ $$P_{\text{معيب}}(A) = \frac{0.6 \times 0.02}{0.032} = \frac{0.012}{0.032} = \frac{3}{8} = 0.375$$ --- ### الشجرة الاحتمالية — أداة البايز المرئية ``` ┌─ معيب (0.02) → P = 0.012 A (0.6)┤ └─ سليم (0.98) → P = 0.588 Ω ─┤ ┌─ معيب (0.05) → P = 0.020 B (0.4)┤ └─ سليم (0.95) → P = 0.380 ``` مجموع كل الأوراق = $1$. $P(\text{معيب}) = 0.012 + 0.020 = 0.032$.