الاحتمال الشرطي وقاعدة الضرب

## الاحتمال الشرطي — قاعدة الضرب ### تذكير: الفضاء الاحتمالي **تجربة عشوائية**: تجربة نتائجها غير مؤكدة مسبقاً. **الفضاء الاحتمالي** $\Omega$: مجموعة جميع النتائج الممكنة. $$P(A) = \frac{\text{عدد نتائج } A}{\text{عدد نتائج } \Omega}, \quad 0 \leq P(A) \leq 1$$ --- ### الاحتمال الشرطي احتمال وقوع الحادثة $B$ علماً بأن $A$ قد وقعت: $$P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \quad P(A) \neq 0$$ **خاصية:** $P_A$ هو احتمال صحيح على الحوادث الفرعية لـ $A$: - $0 \leq P_A(B) \leq 1$ - $P_A(\Omega) = 1$ - $P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)$ --- ### قاعدة الضرب (Formule des probabilités composées) $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = P(B) \cdot P_B(A)$$ **مثال (BAC):** صندوق يحتوي على $3$ كرات بيضاء و $2$ حمراء. نسحب كرتين متتاليتين **دون إرجاع**. - $P(\text{أولى بيضاء}) = \dfrac{3}{5}$ - $P(\text{ثانية بيضاء} | \text{أولى بيضاء}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ $$P(\text{كرتان بيضاوان}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$ --- ### استقلالية حادثتين $A$ و $B$ **مستقلتان** إذا وفقط إذا: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ أو بشكل مكافئ: $P_A(B) = P(B)$. **مثال:** رمي حجر نرد مرتين. $A$ = "الأولى مثلثة" و $B$ = "الثانية أكبر من 4". $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$P(A \cap B) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \quad \checkmark \text{ مستقلتان}$$