التوازي والتعامد بين المتجهات الفضائية

## التوازي والتعامد بين المتجهات ### شرط التوازي المتجهان $\vec{u}(x_1, y_1, z_1)$ و $\vec{v}(x_2, y_2, z_2)$ متوازيان إذا وفقط إذا: $$\vec{u} = k\vec{v} \quad \text{لعدد حقيقي } k \neq 0$$ أي: $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{z_1}{z_2}$ **مثال:** هل $\vec{u}(2, -4, 6)$ و $\vec{v}(1, -2, 3)$ متوازيان؟ $$\frac{2}{1} = \frac{-4}{-2} = \frac{6}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad \vec{u} = 2\vec{v} \quad \checkmark$$ --- ### شرط التعامد المتجهان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامدان إذا وفقط إذا: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$ $$x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$$ **مثال (BAC):** هل $\vec{u}(3, -1, 2)$ و $\vec{v}(1, 5, 1)$ متعامدان؟ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3(1) + (-1)(5) + 2(1) = 3 - 5 + 2 = 0 \quad \checkmark$$ --- ### الضرب الاتجاهي (Produit vectoriel) الضرب الاتجاهي $\vec{u} \wedge \vec{v}$ هو متجه عمودي على كل من $\vec{u}$ و $\vec{v}$: $$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1 z_2 - z_1 y_2,\ z_1 x_2 - x_1 z_2,\ x_1 y_2 - y_1 x_2)$$ **خاصية:** $\vec{u} \wedge \vec{v} \perp \vec{u}$ و $\vec{u} \wedge \vec{v} \perp \vec{v}$ **مساحة متوازي الأضلاع:** $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot |\sin\theta|$ --- ### تطبيق BAC — التحقق من تعامد مستقيمين المستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ متعامدان إذا كان $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$. **مثال:** $A(0,0,0)$، $B(1,2,-1)$، $C(1,0,0)$، $D(0,3,2)$. $\overrightarrow{AB} = (1,2,-1)$، $\overrightarrow{CD} = (-1,3,2)$ $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -1 + 6 - 2 = 3 \neq 0 \quad \text{(non perpendiculaires)}$$