الإحداثيات الفضائية والمسافة بين نقطتين

## الإحداثيات الفضائية — التعريف والمسافة ### الفضاء الثلاثي الأبعاد نُحدِّد كل نقطة $M$ في الفضاء بثلاثة أعداد حقيقية: $$M(x, y, z)$$ حيث يُشكِّل الثلاثي $(x, y, z)$ **إحداثيات** النقطة $M$ في المعلم المتعامد المتجانس $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. --- ### قواعد الإحداثيات إذا كانت $A(x_A, y_A, z_A)$ و $B(x_B, y_B, z_B)$، فإن: **متجه $\overrightarrow{AB}$:** $$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$ **المسافة $AB$:** $$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$ **منتصف $I$ للقطعة $[AB]$:** $$I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2},\ \frac{z_A+z_B}{2}\right)$$ --- ### أمثلة محلولة **مثال 1:** $A(1, 2, -1)$ و $B(3, 0, 4)$. $$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-2)^2 + (4+1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33}$$ **مثال 2 (BAC):** أوجد إحداثيات منتصف $[AB]$. $$I\left(\frac{1+3}{2},\ \frac{2+0}{2},\ \frac{-1+4}{2}\right) = I\left(2,\ 1,\ \frac{3}{2}\right)$$ --- ### ضرب عددي للمتجهات الفضائية إذا كان $\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$ و $\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$، فإن: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$$ $$\|\vec{u}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$$ **زاوية الميل بين متجهين:** $$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$$