Back to Course

Mode Découverte Gratuit (Accès 1-Clic)

Vous profitez d'un accès libre aux premières leçons de ce cours. Créez un compte gratuit pour enregistrer votre progression et accéder aux quiz !

Créer un compte gratuit

الدرس 2 : اتجاه تغير متتالية عددية والتقارب والمحدودية من الأعلى ومن الأسفل

1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts)

أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الثالثة ثانوي (3AS)، شعب علوم تجريبية، رياضيات، وتقني رياضي. بصفتي أستاذاً ومفتشاً تربوياً، أؤكد لكم أن دراسة اتجاه تغير متتالية عددية (Sens de variation d'une suite) ومفهوم التقارب (Convergence) تمثل ركيزة أساسية لا غنى عنها في امتحان شهادة البكالوريا (BAC). غالباً ما تتوج هذه الدراسات بأسئلة حاسمة في موضوع الامتحان، وغالباً ما تكون مفتاحاً لحل المسائل الكبرى.

في هذا الدرس الثاني ضمن وحدة المتتاليات العددية (Les suites numériques)، سنتناول بالتفصيل كيف يتصرف الحد العام $(u_n)$ عندما تؤول n إلى مالا نهاية ($+\infty$). هل يتزايد باستمرار؟ هل يتناقص؟ أم يستقر نحو قيمة حقيقية معينة؟ سنجيب عن هذه التساؤلات بمنهجية رياضية صارمة تمكنكم من اقتلاع العلامة الكاملة في هذا الجزئية.

المفاهيم الأساسية المستهدفة:
* اتجاه التغير (Sens de variation): متتالية متزايدة تماماً (Suite strictement croissante)، متتالية متناقصة تماماً (Suite strictement décroissante)، ومتتالية ثابتة (Suite constante).
* المحدودية (Bornitude): متتالية محدودة من الأعلى (Majorée)، محدودة من الأسفل (Minorée)، ومحدودة تماماً (Bornée).
* التقارب (Convergence): مفهوم تقارب متتالية نحو عدد حقيقي L، ومتتالية تباعدية (Divergente).
* الرتابة (Monotonie): خاصية انتظام التغير.

2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict)

نضع بين أيديكم القواعد الأساسية مصاغة بصياغة رياضية دقيقة ودراسة نظرية متكاملة وفق المنهجية الرسمية المعتمدة في الجزائر.

أ. طرق دراسة اتجاه تغير متتالية عددية $( (u_n) )$

لدراسة اتجاه تغير متتالية معرفة بحدها العام $(u_n) = f(n)$ أو بـرجوعها (ترجعية) $u_{n+1} = f(u_n)$ ، نعتمد إحدى الطرق الثلاث الآتية:

دراسة إشارة الفرق ($u_{n+1} - u_n$): لكل عدد طبيعي n:
إذا كان $u_{n+1} - u_n > 0$ (أي $u_{n+1} > u_n$)، فالزمن يتقدم والحدود تكبر، إذن المتتالية متزايدة تماماً (Strictement croissante).
إذا كان $u_{n+1} - u_n < 0$ (أي $u_{n+1} < u_n$)، فالحدود تصغر، إذن المتتالية متناقصة تماماً (Strictement décroissante).
إذا كان $u_{n+1} - u_n = 0$ (أي $u_{n+1} = u_n$)، فالمتتالية ثابتة (Constante).
مقارنة النسب $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ مع الواحد (في حال كانت الحدود موجبة تماماً):
إذا كان $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ فالمتتالية متزايدة تماماً.
إذا كان $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ فالمتتالية متناقصة تماماً.
استعمال الدالة المرفقة f$(حالة متتالية معرفة بـ u_{n+1} = f(u_n) أو$ $(u_n)$ = f(n)):
إذا كانت الدالة f$متزايدة تماماً على المجال [I] الذي تنتمي إليه حدود المتتالية، فإن المتتالية$( $(u_n)$ )$**لها نفس اتجاه تغير الدالة$f**.
إذا كانت الدالة f$متناقصة تماماً على المجال [I] ، فإن المتتالية$( $(u_n)$ )$**تكون عكس اتجاه تغير الدالة$f** (وهذا غالباً ما يدرس بالاستدلال بالتراجع).

ب. المتتاليات المحدودة (Les suites bornées)

متتالية محدودة من الأعلى (Suite majorée): يقال عن المتتالية $( (u_n) )$ أنها محدودة من الأعلى بالعدد الحقيقي M إذا كان لكل عدد طبيعي n:
$$u_n \leq M$$
متتالية محدودة من الأسفل (Suite minorée): يقال عن المتتالية $( (u_n) )$ أنها محدودة من الأسفل بالعدد الحقيقي m إذا كان لكل عدد طبيعي n:
$$u_n \geq m$$
متتالية محدودة (Suite bornée): تكون المتتالية محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأسفل معاً، أي يوجد عددان حقيقيان m و M بحيث:
$$m \leq u_n \leq M$$

ج. مبرهنة التقارب للمتتاليات (Théorème de convergence)

نص المبرهنة الأساسية (الجوهرية في البكالوريا):

"كل متتالية عددية متزايدة ومحدودة من الأعلى بـعدد حقيقي M$فهي متقاربة."** > **"كل متتالية عددية متناقصة ومحدودة من الأسفل بـعدد حقيقي$m فهي متقاربة."

ملاحظة هامة جداً: هذه المبرهنة تعطينا شرطاً كافياً للتقارب ($\text{Condition suffisante})، ولكنها لا تعطينا قيمة النهايةLمباشرة (إلا إذا استعملنا العلاقة الديدية حل المعادلة $f(L) = L$ بشرط استمراريةf$).

3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces)

التطبيق الأول: دراسة اتجاه التغير بالفرق والاستدلال بالتراجع للمحدودية

النص: لتكن المتتالية العددية $( (u_n) )$ المعرفة بـ $u_0 = 1$ ومن أجل كل عدد طبيعي n:
$$u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$$
1. برهن بالاستدلال بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي n: $0 \leq u_n \leq 3$.
2. ادرس اتجاه تغير المتتالية $( (u_n) )$.
3. استنتج أن $( (u_n) )$ متقاربة.

الحل النموذجي المفصل:

1. البرهان بالاستدلال بالتراجع (Démonstration par récurrence): نسمي الخاصية P(n): "$0 \leq u_n \leq 3$".
* التحقق من صحة الخاصية من أجل أول حد ($n = 0$): لدينا $u_0 = 1$ ومحصر تماماً بين $0$ و $3$ ($0 \leq 1 \leq 3). إذنP(0)$ محققة.
* الفرضية: نرضي أن الخاصية صحيحة من أجل n كيفي، أي: $0 \leq u_n \leq 3$.
* البرهان على صحة الخاصية من أجل $n+1$: علينا إثبات أن $0 \leq u_{n+1} \leq 3$.
لدينا حسب الفرضية:
$$0 \leq u_n \leq 3$$
نضرب في $2$:
$$0 \leq 2u_n \leq 6$$
نضيف $3$:
$$3 \leq 2u_n + 3 \leq 9$$
ندخل الجذر التربيعي (دالة متزايدة تماماً على $[0, +\infty[$):
$$\sqrt{3} \leq \sqrt{2u_n + 3} \leq \sqrt{9}$$
أي:
$$\sqrt{3} \leq u_{n+1} \leq 3$$
وبما أن $\sqrt{3} \geq 0$ ، إذن:
$$0 \leq u_{n+1} \leq 3$$
الخاصية محققة من أجل $n+1$.
* الخاتمة: إذن من أجل كل عدد طبيعي n، لدينا: $0 \leq u_n \leq 3$.

2. دراسة اتجاه تغير المتتالية $( (u_n) )$: ندرس إشارة الفرق $u_{n+1} - u_n$:
$$u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n + 3} - u_n$$
نستعمل طريقة المرافق لتسهيل دراسة الإشارة:
$$u_{n+1} - u_n = \frac{(\sqrt{2u_n + 3} - u_n)(\sqrt{2u_n + 3} + u_n)}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n}$$
$$u_{n+1} - u_n = \frac{(2u_n + 3) - u_n^2}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n} = \frac{-u_n^2 + 2u_n + 3}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n}$$
نحلل العبارة التربيعية في البسط $-u_n^2 + 2u_n + 3$:
بحساب المميز $\Delta = 2^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16$ وجدراهما:
$$u_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1, \quad u_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3$$
إذن: $-u_n^2 + 2u_n + 3 = -(u_n - 3)(u_n + 1)$
فصبح الفرق:
$$u_{n+1} - u_n = \frac{-(u_n - 3)(u_n + 1)}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n}$$
* الإشارة:
- حسب السؤال السابق، لدينا من أجل كل n: $0 \leq u_n \leq 3$.
- إذن المقام $\sqrt{2u_n + 3} + u_n > 0$ تماماً.
- القوس الأول $(u_n - 3) \leq 0(لأنu_n \leq 3$).
- القوس الثاني $(u_n + 1) \ge 1 > 0(لأنu_n \geq 0$).
- إذن البسط: $- ( \text{عدد سالب} \times \text{عدد موجب} ) = - (\text{سالب}) = \text{موجب تماماً}$.
وبالتالي:
$$u_{n+1} - u_n \geq 0$$
المتتالية $( (u_n) )$ متزايدة تماماً.

3. استنتاج التقارب:
* لدينا المتتالية $( (u_n) )$ متزايدة تماماً.
* ولدينا من السؤال الأول أنها محدودة من الأعلى بالعدد $3$ (أي $u_n \leq 3$).
* إذن، حسب مبرهنة التقارب للمتتاليات الرتيبة، المتتالية $( (u_n) )$ متقاربة. (نهايتها L$تحقق L = \sqrt{2L+3}$ أيL=3$).

4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط

إليك تمرين مقترح بقوة، مصمم وفق معايير الديوان الوطني للامتحانات والمسابقات (ONEC). حاول حله بنفسك ثم قارنه بالتنقيط المفصل.

نص التمرين:

لتكن المتتالية العددية $( (v_n) )$ المعرفة على $\mathbb{N}$ بـ:
$$v_0 = 2 \quad \text{و} \quad v_{n+1} = \frac{1}{3}v_n + 2$$
1. أ) احسب $v_1$ و $v_2$. (0.75 نقطة) ب) برهن بالاستدلال بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي n، $(v_n) < 3$. (1.00 نقطة)
2. أ) دبرس اتجاه تغير المتتالية $( (v_n) )$. (1.00 نقطة) ب) استنتج أن المتتالية $( (v_n) )$ متقاربة. (0.50 نقطة)
3. نعتبر المتتالية العددية (w_n) المعرفة من أجل كل عدد طبيعي n بـ: $w_n = (v_n) - 3$.
أ) برهن أن (w_n)$متتالية هندسية أساسها q = \frac{1}{3}$ يطلب تعيين حدها الأول $w_0. *(1.25 نقطة)* ب) اكتب عبارة الحد العام$ $(v_n)$ بدلالةn$ ، ثم احسب نهايتها. (1.5 نقطة)

سلم التنقيط النموذجي المفصل (Barème officiel):

السؤال 1 (أ):
حساب $v_1 = \frac{1}{3}(2) + 2 = \frac{8}{3}\rightarrow$ (0.40 نقطة)
حساب $v_2 = \frac{1}{3}(\frac{8}{3}) + 2 = \frac{8}{9} + 2 = \frac{26}{9}\rightarrow$ (0.35 نقطة)
السؤال 1 (ب): الاستدلال بالتراجع:
التحقق من أجل $n=0$ ($v_0 = 2 < 3$) صحيحة $\rightarrow$ (0.25 نقطة)
صياغة الفرضية وفرض صحتها $\rightarrow$ (0.25 نقطة)
البرهان على صحة $v_{n+1} < 3$ (الضرب في $\frac{1}{3}ثم إضافة2$) $\rightarrow$ (0.40 نقطة)
الخاتمة بعبارة صحيحة $\rightarrow$ (0.10 نقطة)
السؤال 2 (أ): اتجاه التغير:
حساب الفرق $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{3}v_n + 2 - v_n = -\frac{2}{3}v_n + 2\rightarrow$ (0.40 نقطة)
ربط النتيجة بالمعطيات ($v_n < 3 \implies -\frac{2}{3}v_n > -2 \implies -\frac{2}{3}v_n + 2 > 0أو الاستدلال بإشارة-2(v_n - 3)$) $\rightarrow$ (0.40 نقطة)
الاستنتاج: المتتالية متزايدة تماماً $\rightarrow$ (0.20 نقطة)
السؤال 2 (ب): استنتاج التقارب:
ذكر الشرطين: متزايدة ومحدودة من الأعلى بالعدد $3$\rightarrow$ (0$ .30 نقطة)
الاستنتاج السليم بأنها متقاربة $\rightarrow$ (0.20 نقطة)
السؤال 3 (أ): إثبات أن (w_n) هندسية:
حساب $w_{n+1} = v_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}v_n + 2 - 3 = \frac{1}{3}v_n - 1\rightarrow$ (0.50 نقطة)
إخراج العامل المشترك $\frac{1}{3}لتصبح $\frac{1}{3}(v_n - 3) = \frac{1}{3}w_n$\rightarrow$ (0.40 نقطة)
التعقيب وتعيين الأساس $q = \frac{1}{3}والحد الأول $w_0 = v_0 - 3 = 2 - 3 = -1$\rightarrow$ (0.35 نقطة)
السؤال 3 (ب): عبارة $(v_n)$ والنهاية:
كتابة عبارة الحد العام $w_n = w_0 \times q^n = -1 \times (\frac{1}{3})^n\rightarrow$ (0.50 نقطة)
استنتاج عبارة $v_n = w_n + 3 = 3 - (\frac{1}{3})^n\rightarrow$ (0.50 نقطة)
حساب النهاية $\lim_{n \to +\infty} v_n = 3(لأن\lim (\frac{1}{3})^n = 0$) $\rightarrow$ (0.50 نقطة)

5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة (Synthèse et pièges à éviter)

أبنائي الطلبة، لتجنب الأخطاء الكارثية التي تكلّفكم نقاطاً غالية في بكالوريا الجزائر، أقدم لكم خلاصة توجيهاتي بصفتي مفتشاً للإعلام والتوجيه البيداغوجي:

لا تخلطوا بين أنواع المتتاليات: المبرهنة تشترط الرتابة (متزايدة تماماً أو متناقصة تماماً) والمحدودية معاً. لا يمكن إثبات التقارب فقط بكون المتتالية محدودة دون دراسة اتجاه التغير.
فخ الاستدلال بالتراجع: عند إثبات المحدودية بالاستدلال بالتراجع، احذروا من القفز على الخطوات أو إغفال مرحلة التهيئة (التحقق من صحة الخاصية من أجل أول حد). كتابة خطوات التراجع بشكل منهجي تضمن لك النقطة كاملة.
طريقة المرافق: في الجذور، إذا وجدتم $u_{n+1} - u_n$ على شكل فرق جذور، فكروا فوراً في الضرب والقسْم على المرافق ($\text{Quantité conjuguée}$) لتفادي الوقوع في حالات عدم التعيين أو خطأ في تحديد الإشارة.
الدقة في الاستنتاج: عندما يُطلب منك "استنتج أن المتتالية متقاربة"، فالعادة جرت أن الجواب معتمد كلياً على السؤالين السابقين (الرتابة + المحدودية)، فلا تبحث عن طرق معقدة، بل اربط النتائج مباشرة بالمبرهنة المقررة.

بالتوفيق والنجاح الدائم في مشواركم الدراسي نحو نيل شهادة البكالوريا 2027 بامتياز وتفوق. ثقوا بأنفسكم، فالرياضيات مادة فهم ومنهج وليست حفظاً!

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts) أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الثالثة ثانوي (3AS)، شعب علوم تجريبية، رياضيات، وتقني رياضي. بصفتي أستاذاً ومفتشاً تربوياً، أؤكد لكم أن دراسة اتجاه تغير متتالية عددية (Sens de variation d'une suite) ومفهوم التقارب (Convergence) تمثل ركيزة أساسية لا غنى عنها في امتحان شهادة البكالوريا (BAC). غالباً ما تتوج هذه الدراسات بأسئلة حاسمة في موضوع الامتحان، وغالباً ما تكون مفتاحاً لحل المسائل الكبرى. في هذا الدرس الثاني ضمن وحدة المتتاليات العددية (Les suites numériques)، سنتناول بالتفصيل كيف يتصرف الحد العام $(u_n)$ عندما تؤول `n` إلى مالا نهاية ($+\infty$). هل يتزايد باستمرار؟ هل يتناقص؟ أم يستقر نحو قيمة حقيقية معينة؟ سنجيب عن هذه التساؤلات بمنهجية رياضية صارمة تمكنكم من اقتلاع العلامة الكاملة في هذا الجزئية. **المفاهيم الأساسية المستهدفة:** * **اتجاه التغير (Sens de variation):** متتالية متزايدة تماماً (Suite strictement croissante)، متتالية متناقصة تماماً (Suite strictement décroissante)، ومتتالية ثابتة (Suite constante). * **المحدودية (Bornitude):** متتالية محدودة من الأعلى (Majorée)، محدودة من الأسفل (Minorée)، ومحدودة تماماً (Bornée). * **التقارب (Convergence):** مفهوم تقارب متتالية نحو عدد حقيقي `L`، ومتتالية تباعدية (Divergente). * **الرتابة (Monotonie):** خاصية انتظام التغير. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict) نضع بين أيديكم القواعد الأساسية مصاغة بصياغة رياضية دقيقة ودراسة نظرية متكاملة وفق المنهجية الرسمية المعتمدة في الجزائر. ### أ. طرق دراسة اتجاه تغير متتالية عددية $( (u_n) )$ لدراسة اتجاه تغير متتالية معرفة بحدها العام $(u_n) = f(n)$ أو بـرجوعها (ترجعية) $u_{n+1} = f(u_n)$ ، نعتمد إحدى الطرق الثلاث الآتية: 1. **دراسة إشارة الفرق ($u_{n+1} - u_n$):** لكل عدد طبيعي `n`: * إذا كان $u_{n+1} - u_n > 0$ (أي $u_{n+1} > u_n$)، فالزمن يتقدم والحدود تكبر، إذن المتتالية **متزايدة تماماً** (Strictement croissante). * إذا كان $u_{n+1} - u_n < 0$ (أي $u_{n+1} < u_n$)، فالحدود تصغر، إذن المتتالية **متناقصة تماماً** (Strictement décroissante). * إذا كان $u_{n+1} - u_n = 0$ (أي $u_{n+1} = u_n$)، فالمتتالية **ثابتة** (Constante). 2. **مقارنة النسب $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ مع الواحد (في حال كانت الحدود موجبة تماماً):** * إذا كان $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ فالمتتالية متزايدة تماماً. * إذا كان $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ فالمتتالية متناقصة تماماً. 3. **استعمال الدالة المرفقة `f$(حالة متتالية معرفة بـ u_{n+1} = f(u_n) أو$ $(u_n)$ = f(n)`):** * إذا كانت الدالة `f$متزايدة تماماً على المجال [I] الذي تنتمي إليه حدود المتتالية، فإن المتتالية$( $(u_n)$ )$**لها نفس اتجاه تغير الدالة$f`**. * إذا كانت الدالة `f$متناقصة تماماً على المجال [I] ، فإن المتتالية$( $(u_n)$ )$**تكون عكس اتجاه تغير الدالة$f`** (وهذا غالباً ما يدرس بالاستدلال بالتراجع). ### ب. المتتاليات المحدودة (Les suites bornées) * **متتالية محدودة من الأعلى (Suite majorée):** يقال عن المتتالية $( (u_n) )$ أنها محدودة من الأعلى بالعدد الحقيقي `M` إذا كان لكل عدد طبيعي `n`: $$u_n \leq M$$ * **متتالية محدودة من الأسفل (Suite minorée):** يقال عن المتتالية $( (u_n) )$ أنها محدودة من الأسفل بالعدد الحقيقي `m` إذا كان لكل عدد طبيعي `n`: $$u_n \geq m$$ * **متتالية محدودة (Suite bornée):** تكون المتتالية محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأسفل معاً، أي يوجد عددان حقيقيان `m` و `M` بحيث: $$m \leq u_n \leq M$$ ### ج. مبرهنة التقارب للمتتاليات (Théorème de convergence) نص المبرهنة الأساسية (الجوهرية في البكالوريا): > **"كل متتالية عددية متزايدة ومحدودة من الأعلى بـعدد حقيقي `M$فهي متقاربة."** > **"كل متتالية عددية متناقصة ومحدودة من الأسفل بـعدد حقيقي$m` فهي متقاربة."** *ملاحظة هامة جداً:* هذه المبرهنة تعطينا شرطاً كافياً للتقارب ($\text{Condition suffisante}`)، ولكنها لا تعطينا قيمة النهاية `L` مباشرة (إلا إذا استعملنا العلاقة الديدية حل المعادلة $f(L) = L$ بشرط استمرارية `f$). --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces) ### التطبيق الأول: دراسة اتجاه التغير بالفرق والاستدلال بالتراجع للمحدودية **النص:** لتكن المتتالية العددية $( (u_n) )$ المعرفة بـ $u_0 = 1$ ومن أجل كل عدد طبيعي `n`: $$u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$$ 1. برهن بالاستدلال بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي `n`: $0 \leq u_n \leq 3$. 2. ادرس اتجاه تغير المتتالية $( (u_n) )$. 3. استنتج أن $( (u_n) )$ متقاربة. **الحل النموذجي المفصل:** **1. البرهان بالاستدلال بالتراجع (Démonstration par récurrence):** نسمي الخاصية `P(n)`: "$0 \leq u_n \leq 3$". * **التحقق من صحة الخاصية من أجل أول حد ($n = 0$):** لدينا $u_0 = 1$ ومحصر تماماً بين $0$ و $3$ ($0 \leq 1 \leq 3`). إذن `P(0)$ محققة. * **الفرضية:** نرضي أن الخاصية صحيحة من أجل `n` كيفي، أي: $0 \leq u_n \leq 3$. * **البرهان على صحة الخاصية من أجل $n+1$:** علينا إثبات أن $0 \leq u_{n+1} \leq 3$. لدينا حسب الفرضية: $$0 \leq u_n \leq 3$$ نضرب في $2$: $$0 \leq 2u_n \leq 6$$ نضيف $3$: $$3 \leq 2u_n + 3 \leq 9$$ ندخل الجذر التربيعي (دالة متزايدة تماماً على $[0, +\infty[$): $$\sqrt{3} \leq \sqrt{2u_n + 3} \leq \sqrt{9}$$ أي: $$\sqrt{3} \leq u_{n+1} \leq 3$$ وبما أن $\sqrt{3} \geq 0$ ، إذن: $$0 \leq u_{n+1} \leq 3$$ الخاصية محققة من أجل $n+1$. * **الخاتمة:** إذن من أجل كل عدد طبيعي `n`، لدينا: $0 \leq u_n \leq 3$. **2. دراسة اتجاه تغير المتتالية $( (u_n) )$:** ندرس إشارة الفرق $u_{n+1} - u_n$: $$u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n + 3} - u_n$$ نستعمل طريقة المرافق لتسهيل دراسة الإشارة: $$u_{n+1} - u_n = \frac{(\sqrt{2u_n + 3} - u_n)(\sqrt{2u_n + 3} + u_n)}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n}$$ $$u_{n+1} - u_n = \frac{(2u_n + 3) - u_n^2}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n} = \frac{-u_n^2 + 2u_n + 3}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n}$$ نحلل العبارة التربيعية في البسط $-u_n^2 + 2u_n + 3$: بحساب المميز $\Delta = 2^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16$ وجدراهما: $$u_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1, \quad u_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3$$ إذن: $-u_n^2 + 2u_n + 3 = -(u_n - 3)(u_n + 1)$ فصبح الفرق: $$u_{n+1} - u_n = \frac{-(u_n - 3)(u_n + 1)}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n}$$ * **الإشارة:** - حسب السؤال السابق، لدينا من أجل كل `n`: $0 \leq u_n \leq 3$. - إذن المقام $\sqrt{2u_n + 3} + u_n > 0$ تماماً. - القوس الأول $(u_n - 3) \leq 0` (لأن `u_n \leq 3$). - القوس الثاني $(u_n + 1) \ge 1 > 0` (لأن `u_n \geq 0$). - إذن البسط: $- ( \text{عدد سالب} \times \text{عدد موجب} ) = - (\text{سالب}) = \text{موجب تماماً}$. وبالتالي: $$u_{n+1} - u_n \geq 0$$ المتتالية $( (u_n) )$ **متزايدة تماماً**. **3. استنتاج التقارب:** * لدينا المتتالية $( (u_n) )$ **متزايدة تماماً**. * ولدينا من السؤال الأول أنها **محدودة من الأعلى** بالعدد $3$ (أي $u_n \leq 3$). * إذن، حسب مبرهنة التقارب للمتتاليات الرتيبة، المتتالية $( (u_n) )$ **متقاربة**. (نهايتها `L$تحقق L = \sqrt{2L+3}$ أي `L=3$). --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط إليك تمرين مقترح بقوة، مصمم وفق معايير الديوان الوطني للامتحانات والمسابقات (ONEC). حاول حله بنفسك ثم قارنه بالتنقيط المفصل. ### نص التمرين: لتكن المتتالية العددية $( (v_n) )$ المعرفة على $\mathbb{N}$ بـ: $$v_0 = 2 \quad \text{و} \quad v_{n+1} = \frac{1}{3}v_n + 2$$ 1. أ) احسب $v_1$ و $v_2$. *(0.75 نقطة)* ب) برهن بالاستدلال بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي `n`، $(v_n) < 3$. *(1.00 نقطة)* 2. أ) دبرس اتجاه تغير المتتالية $( (v_n) )$. *(1.00 نقطة)* ب) استنتج أن المتتالية $( (v_n) )$ متقاربة. *(0.50 نقطة)* 3. نعتبر المتتالية العددية `(w_n)` المعرفة من أجل كل عدد طبيعي `n` بـ: $w_n = (v_n) - 3$. أ) برهن أن `(w_n)$متتالية هندسية أساسها q = \frac{1}{3}$ يطلب تعيين حدها الأول $w_0. *(1.25 نقطة)* ب) اكتب عبارة الحد العام$ $(v_n)$ بدلالة `n$ ، ثم احسب نهايتها. *(1.5 نقطة)* --- ### سلم التنقيط النموذجي المفصل (Barème officiel): * **السؤال 1 (أ):** - حساب $v_1 = \frac{1}{3}(2) + 2 = \frac{8}{3}` `\rightarrow$ **(0.40 نقطة)** - حساب $v_2 = \frac{1}{3}(\frac{8}{3}) + 2 = \frac{8}{9} + 2 = \frac{26}{9}` `\rightarrow$ **(0.35 نقطة)** * **السؤال 1 (ب): الاستدلال بالتراجع:** - التحقق من أجل $n=0$ ($v_0 = 2 < 3$) صحيحة $\rightarrow$ **(0.25 نقطة)** - صياغة الفرضية وفرض صحتها $\rightarrow$ **(0.25 نقطة)** - البرهان على صحة $v_{n+1} < 3$ (الضرب في $\frac{1}{3}` ثم إضافة `2$) $\rightarrow$ **(0.40 نقطة)** - الخاتمة بعبارة صحيحة $\rightarrow$ **(0.10 نقطة)** * **السؤال 2 (أ): اتجاه التغير:** - حساب الفرق $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{3}v_n + 2 - v_n = -\frac{2}{3}v_n + 2` `\rightarrow$ **(0.40 نقطة)** - ربط النتيجة بالمعطيات ($v_n < 3 \implies -\frac{2}{3}v_n > -2 \implies -\frac{2}{3}v_n + 2 > 0` أو الاستدلال بإشارة `-2(v_n - 3)$) $\rightarrow$ **(0.40 نقطة)** - الاستنتاج: المتتالية متزايدة تماماً $\rightarrow$ **(0.20 نقطة)** * **السؤال 2 (ب): استنتاج التقارب:** - ذكر الشرطين: متزايدة ومحدودة من الأعلى بالعدد $3$\rightarrow$ **(0$ .30 نقطة)** - الاستنتاج السليم بأنها متقاربة $\rightarrow$ **(0.20 نقطة)** * **السؤال 3 (أ): إثبات أن `(w_n)` هندسية:** - حساب $w_{n+1} = v_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}v_n + 2 - 3 = \frac{1}{3}v_n - 1` `\rightarrow$ **(0.50 نقطة)** - إخراج العامل المشترك $\frac{1}{3}` لتصبح $\frac{1}{3}(v_n - 3) = \frac{1}{3}w_n$ `\rightarrow$ **(0.40 نقطة)** - التعقيب وتعيين الأساس $q = \frac{1}{3}` والحد الأول $w_0 = v_0 - 3 = 2 - 3 = -1$ `\rightarrow$ **(0.35 نقطة)** * **السؤال 3 (ب): عبارة $(v_n)$ والنهاية:** - كتابة عبارة الحد العام $w_n = w_0 \times q^n = -1 \times (\frac{1}{3})^n` `\rightarrow$ **(0.50 نقطة)** - استنتاج عبارة $v_n = w_n + 3 = 3 - (\frac{1}{3})^n` `\rightarrow$ **(0.50 نقطة)** - حساب النهاية $\lim_{n \to +\infty} v_n = 3` (لأن `\lim (\frac{1}{3})^n = 0$) $\rightarrow$ **(0.50 نقطة)** --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة (Synthèse et pièges à éviter) أبنائي الطلبة، لتجنب الأخطاء الكارثية التي تكلّفكم نقاطاً غالية في بكالوريا الجزائر، أقدم لكم خلاصة توجيهاتي بصفتي مفتشاً للإعلام والتوجيه البيداغوجي: 1. **لا تخلطوا بين أنواع المتتاليات:** المبرهنة تشترط **الرتابة (متزايدة تماماً أو متناقصة تماماً)** و**المحدودية** معاً. لا يمكن إثبات التقارب فقط بكون المتتالية محدودة دون دراسة اتجاه التغير. 2. **فخ الاستدلال بالتراجع:** عند إثبات المحدودية بالاستدلال بالتراجع، احذروا من القفز على الخطوات أو إغفال مرحلة التهيئة (التحقق من صحة الخاصية من أجل أول حد). كتابة خطوات التراجع بشكل منهجي تضمن لك النقطة كاملة. 3. **طريقة المرافق:** في الجذور، إذا وجدتم $u_{n+1} - u_n$ على شكل فرق جذور، فكروا فوراً في الضرب والقسْم على **المرافق** ($\text{Quantité conjuguée}$) لتفادي الوقوع في حالات عدم التعيين أو خطأ في تحديد الإشارة. 4. **الدقة في الاستنتاج:** عندما يُطلب منك "استنتج أن المتتالية متقاربة"، فالعادة جرت أن الجواب معتمد كلياً على السؤالين السابقين (الرتابة + المحدودية)، فلا تبحث عن طرق معقدة، بل اربط النتائج مباشرة بالمبرهنة المقررة. بالتوفيق والنجاح الدائم في مشواركم الدراسي نحو نيل شهادة البكالوريا 2027 بامتياز وتفوق. ثقوا بأنفسكم، فالرياضيات مادة فهم ومنهج وليست حفظاً!

Previous Next

Mathématiques : المتتاليات العددية، الاستدلال بالتراجع والتقارب (3AS — Excellence BAC 2027)