1.2 Opérations sur les limites, composition et formes indéterminées

Soient deux fonctions $f$ et $g$, $a$ désignant un réel ou $\pm\infty$, $L$ et $L'$ deux nombres réels.

$\lim f$	$L$	$L$	$L$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g$	$L'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim (f+g)$	$L + L'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

Pour le produit et le quotient, la règle des signes des nombres réels s'applique rigoureusement aux infinis :

$(+\infty) \times (-\infty) = -\infty$ et $(-\infty) \times (-\infty) = +\infty$.
Si $\lim f = L \neq 0$ et $\lim g = 0$ avec $g(x) > 0$ (noté $0^+$) $\implies \lim \frac{f}{g} = \pm\infty$ (signe selon $L$).
Si $\lim f = L$ et $\lim g = \pm\infty \implies \lim \frac{f}{g} = 0$.

Soient $a, b, c$ des réels ou $\pm\infty$. Si :

$$\lim_{x \to a} f(x) = b \quad \text{et} \quad \lim_{X \to b} g(X) = c$$

Alors la limite de la fonction composée $g \circ f$ est : $\lim_{x \to a} g(f(x)) = c$.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}}$.

Rédaction type :

Posons $X = \frac{4x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}$. Comme c'est une fraction rationnelle en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} X = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2}{x^2} = 4$.
Or, pour la fonction racine carrée : $\lim_{X \to 4} \sqrt{X} = \sqrt{4} = 2$.
Par composition des limites, on conclut : $\mathbf{\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}} = 2}$.

$(+\infty) + (-\infty)$

$0 \times (\pm\infty)$

$\frac{0}{0}$

$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$

Note : $\frac{k}{0}$ ($k \neq 0$) n'est PAS une indétermination : cela donne toujours $\pm\infty$ !