الدرس 1 : حساب النهايات، المستقيمات المقاربة وإزالة حالات عدم التعيين الأربع

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts) باعتباري مفتشاً عاماً للتربية والتكوين، وأستاذاً باحثاً واكب دورات عديدة لتقييم شهادة البكالوريا في مادة الرياضيات، أؤكد لكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الثالثة ثانوي (شعاعات: علوم تجريبية، رياضيات، تقني رياضي)، أن محور **الدوال العددية**، وبخاصة **حساب النهايات (Calcul des limites)، المستقيمات المقاربة (Asymptotes)، وإزالة حالات عدم التعيين (Levée des indéterminations)**، يُعد حجر الأساس والبوابة الرئيسية للنجاح بامتياز (تعدي معدل 18/20) في امتحان البكالوريا. إن فهمنا العميق لمفهوم النهاية ينبع من الحاجة الملحة لدراسة سلوك الدالة ($f(x)$) عندما يقترب المتغير $x$ من قيم كبرى أو صغرى، أو عندما يسعى نحو مالا نهاية ($+\infty` أو `-\infty$). تتجسد الأهمية البالغة لهذا الدرس في كونه المفتاح الأوحد لفك شفرة التمثيل البياني للدالة، ومعرفة تصرفاتها عند أطراف مجموعة التعريف. في هذا الدرس الشامل والمفصل وفق المناهج الرسمية للجمهورية الجزائرية، سنعالج بدقة علمية متناهية القواعد الأساسية، والتقنيات الاحترافية لإزالة حالات عدم التعيين الأربع، وصولاً إلى التفسير الهندسي الدقيق لمفهوم المستقيمات المقاربة (الأفقية، العمودية، والمائلة). --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict) ### أ. النهايات الشهيرة والمرجعية (Limites usuelles) يجب الإحاطة تماً بالنهايات الأساسية للدوال المرجعية (كثيرات الحدود، الدالة الناطقة، الدالة الصماء، والدالة الأسية واللوغاريتمية التي ستدرس تباعاً): - نهاية دالة كثير حدود عند المالا نهاية هي نهاية حدها الأكبر درجة. - نهاية دالة نطقة (fraction rationnelle) عند المالا نهاية هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأكبر درجة في البسط والمقام. ### ب. حالات عدم التعيين الأربع (Les quatre formes indéterminées) عند حساب نهاية مجموع، جداء، حاصل قسمة، أو مركب دالتين، قد نصادف وضعيات تعجز فيها القواعد الجبرية المباشرة عن إعطاء نتيجة. هذه الوضعيات هي **حالات عدم التعيين الأربع (Formes indéterminées - F.I.)**: 1. مجموع حدين نهايتاهما متعاكستان في الاشارة: $$(+\infty) + (-\infty)$$ 2. جداء صفر في مالا نهاية: $$0 \times (\pm\infty)$$ 3. حاصل قسمة صفر على صفر: $$\frac{0}{0}$$ 4. حاصل قسمة مالا نهاية على مالا نهاية: $$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$$ ### ج. تقنيات إزالة حالات عدم التعيين (Techniques de levée d'indétermination) لكل حالة من حالات عدم التعيين مفتاح تقني معتمد في تصحيح البكالوريا: - **التحليل والاختزال (Factorisation et simplification):** يُستخدم غالباً في الدوال الناطقة من الشكل $\frac{0}{0}` أو `\frac{\infty}{\infty}$ باستخراج العامل المشترك الأكبر في البسط والمقام. - **استعمال المرافق (Utilisation de l'expression conjuguée):** يُلجأ إليه غالباً في الجذور التربيعية للهروب من حالتي $(+\infty - \infty)` أو `\frac{0}{0}$. - **العدد المشتق (Nombre dérivé):** تطبيق قانون النسبة الشهير: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$$ - **النموذج المرجعي (Limites de référence / Croissance comparée):** خاصة مع الدوال الأسية واللوغاريتمية. ### د. المستقيمات المقاربة (Asymptotes) الهندسة التحليلية ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالنهايات عبر المفاهيم الثلاثة التالية: 1. **المستقيم المقارب الأفقي (Asymptote horizontale):** إذا كانت $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L` (حيث `L$عدد حقيقي)، فإن المستقيم ذو المعادلة **$y = L$** مستقيم مقارب أفقي لـجزء منحنى الدالة$f` عند `(\pm\infty)$. 2. **المستقيم المقارب العمودي/العمودي (Asymptote verticale):** إذا كانت $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty` (حيث $x_0$ قيمة ممنوعة أو حدية)، فإن المستقيم ذو المعادلة **`x = x_0$** مستقيم مقارب عمودي للمنحنى. 3. **المستقيم المقارب المائل (Asymptote oblique):** إذا وجد عددان حقيقيان `a` و `b` (حيث $a \neq 0$) بحيث: $$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$$ فإن المستقيم ذو المعادلة **$\Delta: y = ax + b$** مستقيم مقارب مائل للمنحنى$f` بجوار `(\pm\infty)$. *ملاحظة منهجية:* لحساب الميل `a` والتقاطع `b`، نستعمل القانونين: $$a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text{و} \quad b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]$$ --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces) ### التطبيق الأول: إزالة حالة عدم التعيين بالتحليل **السؤال:** احسب النهاية الآتية: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{3x^3 + x^2 - 4}$$ **الحل النموذجي المفصل:** 1. بالتعويض المباشر، نجد: $$\frac{+\infty}{+\infty} \quad (\text{حالة عدم التعيين } \frac{\infty}{\infty})$$ 2. لإزالة حالة عدم التعيين، نستخرج أعلى حد في البسط وأعلى حد في المقام كعامل مشترك: $$\frac{2x^3 - 5x + 1}{3x^3 + x^2 - 4} = \frac{x^3 \left(2 - \frac{5}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)}{x^3 \left(3 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^3}\right)}$$ 3. نختزل بـ $x^3$: $$= \frac{2 - \frac{5}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^3}}$$ 4. بما أن: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^3} = 0$$ فإن: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{3x^3 + x^2 - 4} = \frac{2 - 0 + 0}{3 + 0 - 0} = \frac{2}{3}$$ --- ### التطبيق الثاني: إزالة حالة عدم التعيين بالمرافق (Conjugué) **السؤال:** احسب: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x)$$ **الحل النموذجي المفصل:** 1. التعويض المباشر يعطينا: $(+\infty - -\infty)` وهي حالة عدم التعيين `(+\infty - \infty)$. 2. نضرب ونقسم في المرافق $\left(\sqrt{x^2 + 3x} + x\right)$: $$(\sqrt{x^2 + 3x} - x) = \frac{(\sqrt{x^2 + 3x} - x)(\sqrt{x^2 + 3x} + x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}$$ 3. نبسط البسط باستخدام المتطابقة الشهيرة $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$= \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}$$ 4. نخرج $x$ من تحت الجذر في المقام بحذر (بما أن $x \to +\infty` فإن `\sqrt{x^2} = x$): $$\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x})} = |x|\sqrt{1 + \frac{3}{x}} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$$ 5. تصبح العبارة: $$\frac{3x}{x\left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1\right)} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1}$$ 6. بحساب النهاية: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$$ --- ### التطبيق الثالث: إزالة حالة عدم التعيين باستخدام العدد المشتق **السؤال:** احسب النهاية التالية: $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$$ **الحل النموذجي المفصل:** 1. التعويض المباشر يعطينا $\frac{\sqrt{4}-2}{2-2} = \frac{0}{0}$ (حالة عدم تعيين). 2. نعتبر الدالة $f(x) = \sqrt{x+2}`. نلاحظ أن `f(2) = \sqrt{4} = 2$. 3. تصبح النهاية مكتوبة على شكل قانون العدد المشتق: $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)$$ 4. نحسب مشتقة الدالة `f`: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$$ 5. نعوض بالقيمة $2$: $$f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{2+2}} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$$ 6. إذن: $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} = \frac{1}{4}$$ --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط (Exercice type officiel avec barème) نصيحة أستاذكم: تعامل مع هذا التمرين بجدية تامة، موقتاً وقتك بالطريقة الرسمية للامتحان (حوالي 25 دقيقة). **التمرين المقترح:** لتكن الدالة العددية `f` المعرفة على المجال $\mathbb{D}_f = ]1, +\infty[$ بـ: $$f(x) = \frac{2x^2 - x + 1}{x - 1}$$ وليكن `(C_f)` تمثيلها البياني في ملمح متجانس $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1. **(01.5 نقطة)** احسب $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ، ثم فسر النتيجة هندسياً. 2. **(01.5 نقطة)** احسب $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. 3. **(02.0 نقطة)** برهن أنه من أجل كل $x$ من المجال $]1, +\infty[`، يمكن كتابة الدالة `f(x)$ على الشكل: $$f(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x - 1}$$ 4. **(01.5 نقطة)** استنتج وجود مستقيم مقارب مائل $(\Delta)` للمنحنى `(C_f)` يطلب تعيين معاديرته، واقترح دراسة الوضع النسبي بين `(C_f)` و `(\Delta)$. --- ### الإجابة النموذجية المفصلة وسلّم التنقيط الرسمي 1. **حساب $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ والتفسير الهندسي (01.5 ن):** - لدينا $\lim_{x \to 1^+} (2x^2 - x + 1) = 2(1)^2 - 1 + 1 = 2$ (**0.5 ن**) - ولدينا $\lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0` بقيم كبرى (إشارة `x-1 > 0$) (**0.25 ن**) - إذن: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{2}{0^+} = +\infty$ (**0.25 ن**) - **التفسير الهندسي:** المستقيم الذي معادلته $x = 1$ هو مستقيم مقارب عمودي للمنحنى `(C_f)`. (**0.5 ن**) 2. **حساب $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ (01.5 ن):** - باستخدام نهاية الحد الأكبر درجة للدالة الناطقة: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty$$ (**01.5 ن كاملة**) 3. **البرهان على الشكل الجديد لـ $f(x)$ (02.0 نقاط):** - نوحد المقام للعبارة المقترحة: $$2x + 1 + \frac{2}{x - 1} = \frac{(2x + 1)(x - 1) + 2}{x - 1}$$ (**0.75 ن**) - ننشر البسط: $$= \frac{2x^2 - 2x + x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{2x^2 - x + 1}{x - 1}$$ (**0.75 ن**) - إذن $f(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ وهو المطلوب. (**0.5 ن**) 4. **الاستنتاج والوضع النسبي (01.5 نقطة):** - بما أن $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (2x + 1)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x - 1} = 0$ (**0.5 ن**) - فإن المستقيم $(\Delta)$ذو المعادلة **$y = 2x + 1** هو مستقيم مقارب مائل للمنحنى `(C_f)` بجوار $+\infty$. (**0.5 ن**) - **الوضع النسبي:** ندرس إشارة الفرق $f(x) - (2x+1) = \frac{2}{x-1}$. بما أن $x > 1$ فإن $x-1 > 0$ أي $\frac{2}{x-1} > 0$. إذن المنحنى `(C_f)$يقع **فوق** المستقيم المقارب (\Delta)$ على المجال `]1, +\infty[$. (**0.5 ن**) --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة (Synthèse et pièges à éviter) أبنائي الطلبة، إن المصحح في امتحان شهادة البكالوريا لا يبحث فقط عن النتيجة النهائية، بل يوليك بالغ الاهتمام لطريقة التفكير ومنهجية التدوين. لتفادي الأخطاء الكارثية وضمان العلامة الكاملة، إليكم وصاياي الذهبية: 1. **حذار من التعويض العشوائي:** لا تكتب أبداً في ورقة الإجابة رموزاً غير رياضية مثل $(\infty \times 0)` أو `(\frac{\infty}{\infty})$ كناتج نهائي، بل هي حالات عدم تعيين تتطلب منك الانتقال إلى "المرحلة الجبرية" (تحليل، مرافق، إلخ). 2. **الكتابة الصارمة للتقارب:** عند الإجابة عن المستقيم المقارب العمودي، يجب أن تذكر بوضوح الإشارة في المقام (مثل $0^+$ أو $0^-$) لأنها تحدد اتجاه النهاية نحو $+\infty` أو `-\infty$ وتفيدك حتماً في جدول التغيرات لاحقاً. 3. **التوثيق الهندسي:** لا تنس أبداً كتابة الجملة الاستنتاجية للتفسير الهندسي (مثال: "المستقيم ذو المعادلة... مقارب...") فليست هناك علامة للنتيجة المجردة دون تعبير هندسي دقيق. 4. **تدريب اليد:** الرياضيات تُكتسب بالمران المستمر. أعِد حل التطبيقات الواردة في هذا الدرس وحدك ورقة وقلم حتى تترسخ التقنيات في ذهنك الباطن. أتمنى لكم كل التوفيق والنجاح، وموعدنا مع الدرس القادم في سلسلة التميز (الدوال الأسية واللوغاريتمية وتطبيقات النهايات الشهيرة). ثقوا بأنفسكم، فالنجاح في البكالوريا بامتياز ليس حكراً على أحد، بل هو ثمرة الجهد والمنهجية السليمة.