الدرس 2 : حل المعادلة التفاضلية للشحن، ثابت الزمن $\tau$ ومخططات التوتر والشحنة والشدة

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية أهلاً بك أيها التلميذ النجيب في هذا الصرح العلمي المخصص للتحضير الفائق لشهادة البكالوريا (BAC 2027). بصفتي مفتشاً، أؤكد لك أن ثنائي القطب `RC` يمثل حجر الأساس في وحدة الظواهر الكهربائية، وغالباً ما يحمل نسب نجاح أو تعثر تفصل التلميذ الممتاز عن المتوسط. في الدرس السابق، قمنا بصياغة المعادلة التفاضلية لتوتر المكثفة `u_C(t)` أثناء عملية الشحن تحت تأثير مولد توتر مثالي قوته المحركة الكهربائية `E`، وكانت على النحو التالي: $$\frac{du_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC} u_C(t) = \frac{E}{RC}$$ في هذا الدرس (الدرس الثاني)، سنتجاوز مرحلة "الكتابة" إلى مرحلة "التحليل العميق والحل الرياضي"، لننتقل من مجرد معادلة رياضية جافة إلى منحنيات بيانية تنبض بالفيزياء. سنكتشف كيف يتصرف النظام الانتقالي (`Régime transitoire`) قبل الوصول إلى النظام الدائم (Régime permanent)، وكيف نحسب بدقة مميزة "ثابت الزمن" ($\tau$) الذي يحكم سرعة وتيرة الشحن في الدارة الكهربائية المتكونة على التوالي من مقاومة أومية $R$، مكثفة سعتها `C`، ومولد ذو توتر ثابت `E`. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية ### أ. إثبات حل المعادلة التفاضلية للشحن `u_C(t)` المعادلة التفاضلية المقترحة هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ذات طرف ثاني ثابت. يُعطى الحل العام المقترح من طرف لجنة الإعداد للبكالوريا بالشكل الآلي: $$u_C(t) = A + B e^{-\alpha t}$$ حيث `A`، `B`، و $\alpha$ ثوابت يطلب تعيينها اعتماداً على الشروط الابتدائية والفيزيائية للدارة. 1. **إيجاد الثابت $\alpha$:** نشتق عبارة الحل بالنسبة للزمن `t`: $$\frac{du_C(t)}{dt} = -\alpha B e^{-\alpha t}$$ نعوض كل من `u_C(t)` و $\frac{du_C(t)}{dt}$ في المعادلة التفاضلية الأصلية: $$-\alpha B e^{-\alpha t} + \frac{1}{RC} (A + B e^{-\alpha t}) = \frac{E}{RC}$$ بنشر العبارة وترتيب الحدود حسب قوى الأس: $$B e^{-\alpha t} \left( -\alpha + \frac{1}{RC} \right) + \left( \frac{A}{RC} - \frac{E}{RC} \right) = 0$$ لكي تحقق هذه المعادلة طوال الزمن (`Vt`), يجب أن يكون كل حد مستقل مساوياً للصفر: - الحد الأول: $-\alpha + \frac{1}{RC} = 0 \implies \alpha = \frac{1}{RC}$ - الحد الثاني: $\frac{A}{RC} - \frac{E}{RC} = 0 \implies A = E$ تصبح عبارة الحل مؤقتاً: $$u_C(t) = E + B e^{-\frac{t}{RC}}$$ 2. **إيجاد الثابت `B` باستخدام الشروط الابتدائية (Conditions initiales):** في اللحظة $t = 0$ (قبل غلق القاطع أو لحظة غلق القاطع)، المكثفة تكون فارغة تماماً، أي: $$u_C(0) = 0$$ نعوض في عبارة الحل: $$u_C(0) = E + B e^{0} = 0 \implies E + B(1) = 0 \implies B = -E$$ إذن، الحل النهائي والكامل للمعادلة التفاضلية للتوتر بين قوسي المكثفة أثناء الشحن هو: $$u_C(t) = E \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right)$$ --- ### ب. استنتاج بقية التطورات الزمنية في الشحن بناءً على الحل الأساسي `u_C(t)`، يمكننا استنتاج بقية التطورات بسهولة تامة باستخدام القوانين الفيزيائية: 1. **شدة التيار اللحظية `i(t)`:** بما أن $i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}$ ، فإن: $$i(t) = C \cdot \frac{d}{dt} \left[ E - E e^{-\frac{t}{RC}} \right] = C \cdot \left( 0 - E \left(-\frac{1}{RC}\right) e^{-\frac{t}{RC}} \right) = \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$$ وبوضع $I_0 = \frac{E}{R}$ (شدة التيار الأعظمية الابتدائية)، نجد: $$i(t) = I_0 e^{-\frac{t}{RC}}$$ 2. **التوتر بين طرفي المقاومة `u_R(t)`:** حسب قانون أوم: $u_R(t) = R \cdot i(t) = R \left( \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \right)$: $$u_R(t) = E e^{-\frac{t}{RC}}$$ 3. **شحنة اللبوسين `q(t)`:** بما أن $q(t) = C \cdot u_C(t)$ ، فإن: $$q(t) = C E \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right)$$ وبوضع الشحنة العظمى $Q_0 = C E$، نجد: $$q(t) = Q_0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right)$$ --- ### ج. ثابت الزمن $\tau$ وتحليله الفيزيائي والرياضي * **التعريف:** نرمز لثابت الزمن بالحرف اليوناني $\tau$ (تـو)، ويعرف بالعلاقة: $$\tau = R \cdot C$$ * **التجانس والبعد:** من الواجبات المنهجية في البكالوريا إثبات تجانس البعد لـ $\tau$ مع الزمن ($[t] = T$): - لدينا من قانون أوم: $R = \frac{u_R}{i} \implies [R] = \frac{U}{I}$ - لدينا من سعة المكثفة: $C = \frac{q}{u_C} = \frac{i \cdot t}{u_C} \implies [C] = \frac{I \cdot T}{U}$ - بضرب البعدين: $[\tau] = [R] \cdot [C] = \frac{U}{I} \cdot \frac{I \cdot T}{U} = T` (إذن `\tau` متجانس مع الزمن، ويُقدر بالثانية `[s]$). * **أهميته الفيزيائية:** يحدد $\tau$ مدة النظام الانتقالي. نظرياً، تبلغ المكثفة شحنتها الكاملة عند $t \to \infty$ ، ولكن عملياً وهندسياً، نعتبر أن النظام الدائم قد بلغ مداه عندما يكون: $$t = 5\tau$$ حيث تصل نسبة الشحن إلى نحو $99{,}3\%$. --- <div class="diagram-block my-6 text-center"> <img src="/media/course_assets/diagrams/diagram_95b124917e.png" alt="منحنيات شحن وتفريغ المكثفة u_C(t) وثابت الزمن tau" class="rounded-xl shadow-lg border border-slate-200 dark:border-slate-700 mx-auto max-w-full" style="max-height: 480px;" /> <p class="text-sm text-slate-500 dark:text-slate-400 mt-2 font-medium">الشكل 2 : المنحنيات البيانية لتطور التوتر u_C(t) خلال الشحن والتفريغ وطرق تعيين ثابت الزمن $\tau$ (المماس وطريقة 0.63E)</p> </div> ### د. طرق تعيين ثابت الزمن $\tau$ من المخططات البيانية يُعدّ استخراج $\tau$ من المنحنيات سؤالاً كلاسيكياً لا يخلو منه أي موضوع بكالوريا. لدينا طريقتان رئيسيتان: 1. **طريقة المماس عند اللحظة $t = 0$ (تخص منحنى الشحن `u_C(t)` أو `q(t)`):** - نرسم المماس للمنحنى البياني `u_C(t)` في نقطة البداية $(t = 0)$. - نحدد نقطة تقاطع هذا المماس مع المستقيم المقارب الأفقي العلوي (الذي يمثل القيمة الحدية `E` أو $Q_0$). - نسقط نقطة التقاطع هذه عمودياً على محور الفواصل (`t`)، فالقيمة المحصلة تمثل تماماً قيمة $\tau$. - **البرهان الرياضي:** معادلة المماس هي $y(t) = u_C'(0) \cdot t + u_C(0)$. بما أن $u_C'(0) = \frac{E}{\tau}$ و $u_C(0) = 0$، فإن معادلة المماس تصبح: $y(t) = \frac{E}{\tau} t$. عند تقاطع المماس مع الخط الأفقي $y = E$، نكتب: $E = \frac{E}{\tau} t_{1} \implies t_{1} = \tau$. 2. **طريقة النسبة المئوية $0{,}63$ أو $63\%$ (تخص منحنى الشحن $u_C(t)$):** - نحسب القيمة: $0{,}63 \times E$ (أو $0{,}63 \times Q_0$ بالنسبة لمنحنى الشحنة). - نعين هذه القيمة على محور التراتيب. - نسقطها أفقياً على المنحنى البياني، ثم عمودياً نحو أسفل إلى محور الفواصل لنجد قيمة $\tau$. - **البرهان الرياضي:** عندما يكون الزمن $t = \tau$ ، نعوض في عبارة الحل: $u_C($\tau$) = E \left( 1 - e^{-\frac{\tau}{\tau}} \right) = E (1 - e^{-1}) = E (1 - 0{,}368) = 0{,}632 E \approx 0{,}63 E$ --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة ### تطبيق عددي مباشر: نحقق دارة كهربائية متسلسلة تتكون من مولد توتره $E = 10\text{ V}$، مقاومة $R = 2\,k\Omega$، ومكثفة فارغة سعتها $C = 5\,\mu\text{F}$. * **السؤال 1:** احسب قيمة ثابت الزمن $\tau$. * **الحل النموذجي:** $\tau = R \cdot C$ ننتبه للتحويلات الأساسية وحدات الجملة الدولية (SI): - $R = 2\,k\Omega = 2 \times 10^3\,\Omega$ - $C = 5\,\mu\text{F} = 5 \times 10^{-6}\,\text{F}$ $$\tau = (2 \times 10^3) \times (5 \times 10^{-6}) = 10 \times 10^{-3}\,\text{s} = 0{,}01\,\text{s} = 10\,\text{ms}$$ * **نصيحة المفتش:** أكبر خطأ يرتكبه الممتحنون هو نسيان تحويل الميلي ثانية ($\text{ms}$) أو الميكروفاراد ($\mu\text{F}$). احرص دائماً على تفقد الوحدات قبل الشروع في الحساب الحرفي والعددي. --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط ### نص التمرين: لدراسة تطور التوتر الكهربائي بين طرفي مكثفة سعتها $C$ خلال عملية الشحن، ننجز التركيب التجريبي الممثل في الدرس باستخدام مولد مثالي توتره $E = 6\text{ V}$ ومقاومة $R = 100\,\Omega$. بمساعدة برمجية إعلام آلي ملائمة، حصلنا على المنحنى البياني الممثل لتطور التوتر $u_C(t)$. 1. أثبت أن التحليل الأبعادي للثابت $\tau$ يوافق الزمن. *(0,5 نقطة)* 2. أوجد من البيان (افتراضي) القيمة الحدية للتوتر `u_C` عندما يصل النظام إلى حالته الدائمة، ثم استنتج قيمة القوة المحركة للمولد `E` إن لم تكن معلومة. *(0,5 نقطة)* 3. باعتماد إحدى الطريقتين المدرستين، حدد قيمة ثابت الزمن $\tau$ بيانيا. *(1,0 نقطة)* 4. استنتج قيمة سعة المكثفة `C`. *(1,0 نقطة)* --- ### الإجابة النموذجية المفصلة وسسلم التنقيط الرسمي: 1. **إثبات البعد:** - $[\tau] = [R] \cdot [C]$ *(0,25 نقطة)* - بما أن القانون يعطي الأبعاد الأساسية $[R] = \frac{U}{I}` و $[C] = \frac{I \cdot T}{U}$ إذن `[\tau] = T$ (زمن). *(0,25 نقطة)* 2. **القيمة الحدية واستنتاج `E`:** - بيانيا، لما $t \to \infty$ يثبت التوتر عند القيمة الأعظمية: $u_{C,\max} = 6\text{ V}$. *(0,25 نقطة)* - وبما أن $u_{C,\max} = E$ في حالة الشحن، فإن القوة المحركة للمولد هي $E = 6\text{ V}$. *(0,25 نقطة)* 3. **تعيين $\tau$ بيانيا:** - نطبق طريقة 63%: نحسب القيمة $0{,}63 \times 6\text{ V} = 3{,}78\text{ V}$. *(0,5 نقطة)* - بالإسقاط على المنحنى ثم على محور الفواصل نجد: $\tau = 2\text{ ms} = 2 \times 10^{-3}\text{ s}$. *(0,5 نقطة)* *(أو استخدام طريقة المماس مع توضيح خطوط الإسقاط بوضوح).* 4. **استنتاج سعة المكثفة `C`:** - لدينا العلاقة العلية: $\tau = R \cdot C \implies C = \frac{\tau}{R}$ *(0,5 نقطة)* - التطبيق العددي: $C = \frac{2 \times 10^{-3}}{100} = 2 \times 10^{-5}\text{ F} = 20\,\mu\text{F}$. *(0,5 نقطة)* --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة ### ملخص الذهب للدرس: * حل المعادلة التفاضلية لـ `u_C(t)` في الشحن هو: $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$. * تطور التوتر بين طرفي المقاومة والشدة يأخذان الشكل المتناقص: $u_R(t) = E e^{-t/\tau}$ و $i(t) = I_0 e^{-t/\tau}$. * ثابت الزمن هو مقياس لسرعة شحن المكثفة $\tau = RC$ ، ويُعين بي إحدى طريقتين: **المماس عند الصفر** أو **الإسقاط عند النسبة $0{,}63 E$**. ### تحذيرات وتنبيهات الأستاذ (الأخطاء الشائعة في تصحيح أوراق البكالوريا): 1. **الخلط بين الشحن والتفريغ:** إياك أن تستعمل عبارة الشحن $(1 - e^{-t/\tau})$ في حالة التففريغ، فالتفريغ يبدأ من القيمة الأعظمية ويتناقص بعبارة أسية صرفة ($e^{-t/\tau}$ بدون الواحد). 2. **إهمال الوحدات:** عدم تحويل وحدات الميلي ثانية ($\text{ms}$ إلى $\text{s}$ بالضرب في $10^{-3}$) أو الميكروفاراد ($\mu\text{F}$ إلى $\text{F}$ بالضرب في $10^{-6}$) يؤدي فوراً إلى ضياع علامة التطبيق العددي كاملة. 3. **غياب خطوط الإسقاط البياني:** في ورقة الإجابة الرسمية للبكالوريا، يُمنع منعاً باتاً كتابة النتيجة البيانية مباشرة دون ترك أثر خطوط الإسقاط الواضحة بقلم الرصاص أو الملون على المنحنى المرفق بموضوع الاختبار. احرص على إبرازها بوضوح تام لتضمن العلامة الكاملة. بالتوفيق في مساركم نحو التميز والحصول على شهادة البكالوريا بامتياز وعلامة كاملة في مادة العلوم الفيزيائية!