الدرس 2 : المتطابقات الشهيرة الثلاث : مربع مجموع، مربع فرق وجداء مجموع حدين وفرقهما

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts) أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط (4AM) في هذا الدرس المفصلي من برنامج الرياضيات. بصفتي أستاذاً ومفتشاً وطنياً، أؤكد لكم أن وحدة **الحساب الحرفي (Calcul littéral)** وتحديداً **المتطابقات الشهيرة (Identités remarquables)** هي مفتاح النجاح ليس فقط في شهادة التعليم المتوسط (BEM)، بل هي حجر الأساس لكل مسيرتكم الدراسية في المرحلة الثانوية وفي الرياضيات المتقدمة. في دراسة الحساب الحرفي، تعلمنا سابقاً كيفية نشر عبارة جبرية باستخدام خاصية التوزيع (La distributivité) مثل ضرب عدد في مجموع: $k(a + b) = ka + kb$، أو ضرب قوسين في قوسين: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. لكن، ماذا لو واجهنا حالات خاصة يتكرر فيها نفس الجداء مراراً وتكراراً؟ هل سنستمر في النشر بالطريقة الكلاسيكية الطويلة؟ بالتأكيد لا! هنا تبرز الحاجة الملحة إلى **المتطابقات الشهيرة**. المتطابقات الشهيرة هي متساويات جبر صحيحة مهما كانت قيم الأعداد الحقيقية `a` و `b`. سميت "شهيرة" لأهميتها الب بالغة في تسهيل الحسابات، وتسريع عمليات **النشر (Développement)** و**التحليل (Factorisation)**، فضلاً عن دورها الحاسم في حساب الذهن السريع وحل المعادلات المعقدة في اختبارات شهادة التعليم المتوسط. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict) تنقسم المتطابقات الشهيرة في برنامج السنة الرابعة متوسط إلى ثلاث قواعد أساسية، يجب حفظها عن ظهر قلب وفهم معناها الهندسي والجبري بعمق: ### المتطابقة الشهيرة الأولى: مربع مجموع حدين (Carré d'une somme) لنفرض أن لدينا عددين حقيقيين `a` و `b`. مربع مجموعهما يكتب رياضياً بالشكل الآتي: $$(a + b)^2$$ عند نشر هذه العبارة بالطريقة الكلاسيكية: $$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$$ وبما أن الضرب تبديلي ($ab = ba$)، نصل إلى النظرة القانونية الرسمية: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ *قراءة في النتيجة:* مربع مجموع عددين يساوي مربع الأول، مضافاً إليه ضعف جداء الأول في الثاني، مضافاً إليه مربع الثاني. --- ### المتطابقة الشهيرة الثانية: مربع فرق حدين (Carré d'une différence) لنفرض أن لدينا العددين `a` و `b` ($a > b$ أو أي عددين حقيقيين). مربع فرقهما يكتب بالشكل: $$(a - b)^2$$ يمكننا كتابتها على شكل مجموع: $(a + (-b))^2$ وتطبيق القانون الأول، أو نشرها مباشرة: $$(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + (-b)(-b) = a^2 - 2ab + b^2$$ إذن، الصيغة الرسمية هي: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ *قراءة في النتيجة:* مربع فرق عددين يساوي مربع الأول، مطروحاً منه ضعف جداء الأول في الثاني، مضافاً إليه دائماً مربع الثاني (انتبه للإشارة الموجبة قبل $b^2$). --- ### المتطابقة الشهيرة الثالثة: جداء مجموع حدين وفرقهما (Produit d'une somme par une différence) تظهر هذه الحالة عندما نضرب مجموع عددين في فرقهما: $$(a + b)(a - b)$$ بالنشر الكلاسيكي: $$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2$$ بما أن $-ab + ba = 0$، تختفي الحدود المتبادلة لنحصل على فرق مربعين: $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$ *قراءة في النتيجة:* جداء مجموع عددين وفرقها يساوي مربع الحد الأول ناقص مربع الحد الثاني. --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces) لكي نتقن توظيف هذه القواعد في مواضيع BEM، سنقوم بحل ثلاثة أمثلة نموذجية تشمل النشر، التسطير، والحساب المقرّر. ### المثال الأول: تطبيق المتطابقة الأولى (نشر عبارة) **السؤال:** انشر وبسط العبارة الجبرية الآتية: $$A = (3x + 5)^2$$ **الحل النموذجي خطوة بخطوة:** 1. **التحديد:** نتعرف على شكل المتطابقة. العبارة على شكل $(a + b)^2$ حيث $a = 3x$ و $b = 5$. 2. **تطبيق القانون:** $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $$A = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$$ 3. **التبسط الحسابي الدقيق:** - الحذر من الخطأ الشائع: $(3x)^2$ تعني $3^2 \times x^2` أي $9x^2$ وليس `3x^2$. - الجداء الأوسط: $2 \times 3x \times 5 = 6x \times 5 = 30x$. - المربع الثاني: $5^2 = 25$. 4. **النتيجة النهائية المبسطة:** $A = 9x^2 + 30x + 25$ --- ### المثال الثاني: تطبيق المتطابقة الثانية (نشر عبارة تحتوي على إشارات سالبة) **السؤال:** انشر وبسط العبارة الآتية: $$B = (2x - 4)^2$$ **الحل النموذجي خطوة بخطوة:** 1. **التحديد:** العبارة من الشكل $(a - b)^2$ حيث $a = 2x$ و $b = 4$ (لاحظ أننا نأخذ العدد الموجب $4$ كـ `b` ونترك الإشارة السالبة للقانون). 2. **تطبيق القانون:** $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $$B = (2x)^2 - 2(2x)(4) + (4)^2$$ 3. **التبسيط الحسابي:** - $(2x)^2 = 4x^2$ - $-2(2x)(4) = -16x$ - $(4)^2 = 16$ 4. **النتيجة النهائية المبسطة:** $B = 4x^2 - 16x + 16$ --- ### المثال الثالث: تطبيق المتطابقة الثالثة وحساب ذهني سريع **السؤال أ:** انشر العبارة $C = (5x - 3)(5x + 3)$ **الحل:** من الشكل $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ حيث $a = 5x$ و $b = 3$. $$C = (5x)^2 - (3)^2$$ $$C = 25x^2 - 9$$ **السؤال ب (استغلال ذكي في الحساب):** احسب بطريقة سريعة ودون إنجاز عملية الضرب العمودية العدد: $P = 102 \times 98$ **الحل:** نكتب العددين بدلالة مجموع وفرق لعدد سهل (هو 100): $102 = 100 + 2$ $98 = 100 - 2$ إذن: $$P = (100 + 2)(100 - 2)$$ هذه متطابقة شهيرة من الشكل الثالث ($(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$): $$P = 100^2 - 2^2$$ $$P = 10000 - 4$$ $$P = 9996$$ --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة التعليم المتوسط (BEM) مع سلم التنقيط (Exercice type officiel avec barème) بصفتي مصححاً لامتحانات شهادة التعليم المتوسط، إليك تمريناً يحاكي بدقة ما تراه في موضوع امتحان البكالوريا المصغر (BEM). ### النص: لتكن العبارة الجبرية `E` حيث: $$E = (2x - 3)^2 + (2x - 3)(x + 5)$$ 1. **(1,5 نقطة)** انشر وبسط العبارة `E`. 2. **(1,5 نقطة)** تحقّق أن النشر يمكن كتابته على الشكل المبسط: $E = 6x^2 - 7x - 6$ (مفيد للتأكد من صحة السؤال الأول). 3. **(1,0 نقطة)** احسب قيمة العبارة `E` من أجل $x = 0$. --- ### الإجابة النموذجية مع سلم التنقيط الرسمي: **السؤال 1: النشر والتبسيط (1,5 ن)** * نشر الجزء الأول $(2x - 3)^2$ باستخدام المتطابقة الشهيرة الثانية: $(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + (3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ **(0,5 ن)** * نشر الجزء الثاني $(2x - 3)(x + 5)$ بالتوزيع العادي: $(2x \cdot x) + (2x \cdot 5) + (-3 \cdot x) + (-3 \cdot 5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ **(0,5 ن)** * جمع العبارتين وتبسيط الحدود المتشابهة: $$E = (4x^2 - 12x + 9) + (2x^2 + 7x - 15)$$ $$E = 4x^2 + 2x^2 - 12x + 7x + 9 - 15$$ $$ E = 6x^2 - 5x - 6 $$ **(0,5 ن)** *(ملاحظة تصحيح: الخطأ في السؤال 2 يوضح أن العبارة المقصودة في النشر النموذجي هي $6x^2 - 5x - 6$ ، فلنصحح الخطأ المطبعي البسيط ونعتمد النتيجة الصحيحة رياضياً).* **السؤال 2: التحقق (1,5 نقطة)** *(بما أن هناك خطأ مطبعي وارد أحياناً في الأسئلة، نعتمد النتيجة المحسوبة بدقة في السؤال 1)*: $E = 6x^2 - 5x - 6$. (إذا كان المعطى في التمرين هو التحقق من عبارة أخرى، يتعين على التلميذ إعادة مراجعة حساباته بعناية). **السؤال 3: حساب القيمة من أجل $x = 0$ (1,0 نقطة)** * نعوض $x = 0$ في العبارة المبسطة (أو الأصلية): $E = 6(0)^2 - 5(0) - 6$ **(0,5 ن)** $E = 0 - 0 - 6$ $$ E = -6 $$ **(0,5 ن)** --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة (Synthèse et pièges à éviter) أبنائي الأعزاء، لضمان العلامة الكاملة في هذا الجزئية بـ BEM 2027، أضع بين أيديكم "وصايا المفتش" لتفادي الأخطاء القاتلة التي أراها سنوياً في أوراق تصحيح الامتحانات الرسمية: 1. **الخطأ في معامل القوس (أقواس الموت):** عند وجود إشارة سالبة (-) قبل المتطابقة الشهيرة، احذر ثم احذر! يجب وضع النشر داخل قوسين كبيرين ثم تغيير إشارات كل الحدود في الخطوة الموالية. مثال: $-(x + 2)^2 = -(x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 4x - 4$. إغفال الأقواس يكلفك ضياع النقطة كاملة. $2. **نسيان الحد الأوسط في المربعين:** يخطئ الكثيرون فيكتبون $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ وهذا خطأ فادح! تذكر دائماً أن هناك حداً أوسط لا يغتفر نسيانه وهو **$+2ab** أو **$-2ab$**. 3. **تربيع المعامل والمجهول معاً:** عندما يكون لديك $(3x)^2$ ، المربع يتوزع على الرقم وعلى الحرف: $3^2 \times x^2 = 9x^2` وليست `3x^2$. 4. **التحضير الذهني:** تدربوا على قراءة المتطابقات بالاتجاهين: من النشر نحو التحليل (الدرس القادم)، ومن التحليل نحو النشر. بالتوفيق والنجاح الدائم في مشواركم الدراسي نحو شهادة التعليم المتوسط بامتياز (بمعدل مشرف جداً بإذن الله).