الدرس 2 : الخوارزمية المنهجية لحساب الأطوال المجهولة بواسطة الرابع المتناسب

## 1. وضعية الانطلاق والمفاهيم الأساسية أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط (4AM) في هذا الدرس الهام المخصص لتحضير شهادة التعليم المتوسط (BEM). بصفتي أستاذاً ومفتشاً لمادة الرياضيات، أؤكد لكم أن حساب الأطوال المجهولة يعتبر العمود الفقري لمواضيع شهادة التعليم المتوسط في الجزء الخاص بالهندسة. في هذا الدرس، سنركز بشكل احترافي ومنهجي على كيفية استثمار النسب المتساوية الناتجة عن خاصية طالس (Théorème de Thalès) أو النسب المثلثية في المثلث القائم لحساب الأطوال، مستخدمين آلية رياضية بحتة تُعرف بـ الرابع المتناسب (Quatrième proportionnelle) والجداء المتصالب (Produit en croix)، مع معالجة الحالات المتقدمة التي تظهر فيها معادلات هندسية معقدة. انطلاقاً من تذكير أساسي، إذا كانت لدينا نسبتان متساويتان على الشكل التالي: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ حيث $b \neq 0$ و $d \neq 0$ ، فإن حساب المجهول (ليكن $x$) يعتمد كلياً على تقنية الجداء المتصالب. إن التمكن من هذه التقنية يجنبكم الوقوع في أخطاء حسابية قاتلة تُفقدكم نقاطاً ثمينة في امتحان البيم. كما سنولي عناية فائقة لضرورة الالتزام بقواعد تدوير الأستاذ أو المصحح (Arrondi) ومتابعة الوحدات بدقة متناهية. --- ## 2. القواعد والخواص الرياضية مع البراهين ### أ. مبدأ الرابع المتناسب والجداء المتصالب عند تطبيق خاصية طالس في مثلث، نحصل غالباً على مساواة بين ثلاث نسب، نختار منها نسبة معلومة كلياً ونسبة أخرى تحتوي على مجهول واحد $x$. بفرض أن العلاقة هي: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$ إذا كتبنا مثلاً: $$\frac{3}{7} = \frac{x}{14}$$ فإن إيجاد قيمة $x$ يتم عبر تطبيق خاصية الجداء المتصالب (Produit en croix)، والتي تنص على أن جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين: $$3 \times 14 = 7 \times x$$ ومنه فإن: $$7x = 42$$ $$\x = \frac{42}{7} = 6$$ ### ب. معالجة المعادلات الهندسية المعقدة (مجهول في طرفي الكسر وتوظيف النشر والتوزيع) في بعض وضعيات شهادة التعليم المتوسط (BEM)، لا يكون المجهول $x$ وحداً في بسط النسبة، بل قد يظهر في عبارة جبرية تتطلب النشر والتوزيع (Développement et distribution)، أو قد يتواجد في طرفي الكسر. لنأخذ هذه الحالة النموذجية: إذا ظهرت لنا علاقة بالشكل التالي: $$\frac{x + 2}{3} = \frac{x}{2}$$ لتطبيق الجداء المتصالب هنا، نكتب: $$2(x + 2) = 3 \times x$$ وهنا يأتي دور توظيف خاصية النشر والتوزيع (La distributivité) لتبسيط الطرف الأيسر: $$2x + 4 = 3x$$ بعد ذلك، نقوم بتجميع المجاهیل في طرف والمعاليم في طرف آخر، وذلك بطرح $2x$ من الطرفين: $$4 = 3x - 2x$$ إذن النتيجة النهائية هي: $$\x = 4$$ هذا النوع من المعادلات الهندسية متكرر بكثافة في مواضيع الامتحانات الرسمية، ويتطلب تركيزاً عالياً لتفادي أخطاء الإشارة أثناء النشر. --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة ### المثال الأول: حساب طول بسيط باستخدام الرابع المتناسب **النص:** ليكن $ABC$ مثلثاً، حيث $M$ نقطة من $[AB]$ و $N$ نقطة من $[AC]$ ، المستقيم $(MN)$ يوازي المستقيم $(BC)$. إذا علمت أن: $AB = 6\text{ cm}$ ، $AM = 2\text{ cm}$ ، و $AC = 9\text{ cm}$. أوجد الطول $AN$ . **الخطوات المنهجية للإجابة النموذجية في BEM:** 1. **ذكر الشروط وتبرير الطريقة:** بما أن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان والنقاط مرتبة على استقامية واحدة، فإننا نطبق خاصية طالس (Théorème de Thalès). 2. **كتابة النسب:** $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$ 3. **تعويض الأعداد المعطاة:** $$\frac{2}{6} = \frac{AN}{9}$$ 4. **تطبيق الجداء المتصالب لإيجاد $AN$:** $$6 \times AN = 2 \times 9$$ $$6 \times AN = 18$$ $$AN = \frac{18}{6} = 3$$ إذن الطول هو: $AN = 3\text{ cm}$. --- ### المثال الثاني: معادلة هندسية متقدمة مع النشر والتوزيع **النص:** في الشكل المقابل، لنفترض أننا وصلنا بعد تطبيق خاصية طالس إلى المساواة التالية التي تحتوي على مجهول $x$ يعبر عن طول: $$\frac{x - 1}{4} = \frac{x + 1}{6}$$ المطلوب: احسب قيمة $x$. **الحل المفصل:** 1. نطبق الجداء المتصالب بدقة مع وضع الأقواس لحماية العبارات الجبرية: $$6 \times (x - 1) = 4 \times (x + 1)$$ 2. ننشر العددين على ما بداخل الأقواس باستخدام التوزيع: $$6x - 6 = 4x + 4$$ 3. ننقل حدود $x$ إلى الطرف الأيسر والأعداد الثابتة إلى الطرف الأيمن مع تغيير الإشارة: $$6x - 4x = 4 + 6$$ 4. نبسط الطرفين: $$2x = 10$$ 5. نستنتج قيمة $x$ النهائية: $$\x = \frac{10}{2} = 5$$ --- ## 4. تمرين نموذجي على طريقة شهادة التعليم المتوسط مع سلم التنقيط إليك عزيزي التلميذ تمريناً شاملاً مصمماً وفق المعايير الرسمية للامتحانات مع سلم التنقيط الخاص به لتتدرب على المنهجية الصارمة. ### نص التمرين: $ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث: $AB = 4 \text{ cm}$ و $AC = 7\text{ cm}$. 1. احسب قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ بالتدوير إلى الوحدة من الدرجات. (نعتمد على النسب المثلثية في المثلث القائم). 2. لتكن $M$ نقطة من ضلع القائمة $[AC]$ حيث $AM = x$ (حيث $0 < x < 7$). المستقيم المار من $M$ والموازي للضلع $[AB]$ يقطع الوتر $[BC]$ في النقطة $N$. عبر بدلالة $x$ عن الطول $MC$. 3. باستخدام خاصية طالس، أوجد عبارة الطول $MN$ بدلالة $x$. 4. إذا علمت أن الطول $MN$ يساوي مساحة مستطيل أبعاده $1\text{ cm}$ و $\frac{1}{2}(7 - x)$ ، أجد قيمة $x$ بحل المعادلة الناتجة. --- ### الإجابة النموذجية وسلم التنقيط الرسمي: 1. **حساب قيس الزاوية $\widehat{ACB}$:** (1.5 نقطة) - كتابة النسبة المثلثية المناسبة: $\tan(\widehat{ACB}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{AB}{AC}$ (0.5 ن) - التعويض العددي: $\tan(\widehat{ACB}) = \frac{4}{7} \approx 0.5714$ (0.5 ن) - استخدام الآلة الحاسبة والاستنتاج مع التدوير للوحدة: $\widehat{ACB} \approx 30^\circ$ (0.5 ن) 2. **التعبير عن الطول $MC$ بدلالة $x$:** (1.0 نقطة) - بما أن $M$ نقطة من $[AC]$ فإن: $MC = AC - AM$ (0.5 ن) - التعويض بالمعطيات: $MC = 7 - x$ (0.5 ن) 3. **إيجاد عبارة الطول $MN$ بدلالة $x$M$:** (1.5 نقطة)$ - إشارة لتطبيق خاصية طالس في المثلث $ABC$ لأن $(MN) \parallel (AB)$: (0.5 ن)$ - كتابة النسب: $\frac{CM}{CA} = \frac{MN}{AB}$ (0.5 ن) - التعويض والتعبير عن $MN$: $\frac{7 - x}{7} = \frac{MN}{4}$ ومنه $MN = \frac{4(7 - x)}{7}$ (0.5 ن) 4. **حل المعادلة لإيجاد قيمة $x$:** (2.0 نقطة) - مساواة العبارتين حسب نص التمرين: $\frac{4(7 - x)}{7} = 1 \times \frac{7 - x}{2}$ أو بطريقة أبسط عبر تبسيط المعادلات الهندسية. (1.0 ن) - تطبيق الجداء المتصالب، النشر، وتبسيط المجهول $x$. (0.5 ن) - إيجاد النتيجة النهائية لـ $x$ بدقة. (0.5 ن) --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي النجباء، لضمان العلامة الكاملة في إشكالية حساب الأطوال عبر الرابع المتناسب في شهادة التعليم المتوسط، أضع بين أيديكم هذه الوصايا الذهبية المستخلصة من لجان التصحيح الرسمية: 1. **احذروا الخلط بين الوحدات:** تأكدوا دائماً من أن جميع الأطوال المعطاة في التمرين تتبع نفس وحدة القياس (غالباً السنتيمتر $\text{cm}$) قبل الشروع في حساب النسب. 2. **كتابة الشروط هندسياً:** لا تبدؤوا أبداً بتطبيق خاصية طالس دون ذكر جملة التوازي والاستقامية صراحةً، فلكل كلمة في الإجابة النموذجية نقطتها الخاصة. 3. **الأقواس وحماية المجاهيل:** عند التعامل مع عبارات جبرية في بسط أو مقام النسب (مثل $x + 2$ أو $7 - x$)، إياكم ثم إياكم أن تنسوا وضع الأقواس عند تطبيق الجداء المتصالب لكي لا يخطئ النشر والتوزيع. 4. **التدوير والتقريب الدقيق:** انتبهوا جيداً لعبارة "بالتدوير إلى الوحدة" أو "إلى الجزء من عشرة"؛ فالخطأ في التقريب الأخير يكلفكم ضياع جزء من علامة السؤال. 5. **التحقق الذهني:** بعد إيجاد قيمة $x$ ، قوموا بتعويضها سريعاً في النسب الأصلية للتأكد من تساوي الطرفين، فالرياضيات علم اليقين ولا مكان فيها للصدفة. تمنياتي لكم بالتوفيق والنجاح الدائم، وموعدنا مع الدرس القادم في سلسلة التميز الخاصة بـ BEM 2027.