# # الدرس 2: إشارة وتبسيط عدد ناطق # # مقدمة: ما هو العدد الناطق؟ قبل أن نخوض في تفاصيل الإشارة والتبسيط، دعونا نتذكر تعريف العدد الناطق. العدد الناطق هو أي عدد يمكن كتابته على شكل كسر $$\frac{a}{b}$$ ، حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b$ لا يساوي الصفر ( $$b eq 0$$ ). يُسمى $a$ **البسط* * ويُسمى $b$ **المقام**. على سبيل المثال، الأعداد $$\frac{3}{4}$$ , $$\frac{-5}{2}$$ , $$7$$ (لأن $$7 = \frac{7}{1}$$ )، و $$-0.25$$ (لأن $$-0.25 = \frac{-25}{100}$$ ) كلها أعداد ناطقة. في هذا الدرس، سنركز على مهارتين أساسيتين للتعامل مع هذه الأعداد، وهما تحديد إشارتها (هل هي موجبة أم سالبة؟) وكتابتها في أبسط صورة ممكنة، وهو ما يسمى بالاختزال. # # الجزء الأول: إشارة عدد ناطق تعتمد إشارة العدد الناطق على إشارة كل من بسطه ومقامه. القاعدة بسيطة جدًا وتعتمد على قواعد ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة. # ## قاعدة الإشارة 1. **إذا كان للبسط والمقام نفس الإشارة (كلاهما موجب أو كلاهما سالب)، فإن العدد الناطق يكون موجبًا.** - موجب / موجب = موجب: $$\displaystyle \frac{+a}{+b} = \frac{a}{b} > 0$$ مثال: $$\displaystyle \frac{+8}{+2} = 4$$ (موجب) - سالب / سالب = موجب: $$\displaystyle \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} > 0$$ مثال: $$\displaystyle \frac{-15}{-3} = 5$$ (موجب) 2. **إذا كان للبسط والمقام إشارتان مختلفتان (أحدهما موجب والآخر سالب)، فإن العدد الناطق يكون سالبًا.** - سالب / موجب = سالب: $$\displaystyle \frac{-a}{+b} = - \frac{a}{b} < 0$$ مثال: $$\displaystyle \frac{-10}{+5} = -2$$ (سالب) - موجب / سالب = سالب: $$\displaystyle \frac{+a}{-b} = - \frac{a}{b} < 0$$ مثال: $$\displaystyle \frac{+21}{-7} = -3$$ (سالب) # ## ملاحظة هامة حول كتابة العدد السالب عندما يكون العدد الناطق سالبًا، يمكن وضع علامة السالب (-) في ثلاثة أماكن مختلفة، وكلها تعطي نفس المعنى: $$\displaystyle - \frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$$ على سبيل المثال: $$\displaystyle - \frac{3}{4} = \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4}$$ من الأفضل والأكثر شيوعًا كتابة علامة السالب إما قبل الكسر أو في البسط. # # الجزء الثاني: تبسيط عدد ناطق (الاختزال) تبسيط عدد ناطق يعني كتابته على شكل كسر **غير قابل للاختزال**. ولكن ماذا يعني هذا؟ # ## الكسر غير القابل للاختزال نقول عن كسر $$\frac{a}{b}$$ أنه غير قابل للاختزال إذا كان القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لبسطه ومقامه يساوي 1. $$\text{ PGCD } (a, b) = 1$$ بعبارة أخرى، العددان $a$ و $b$ **أوليان فيما بينهما**. أمثلة على كسور غير قابلة للاختزال: $$\frac{2}{3}$$ (لأن $$\text{ PGCD } (2, 3)=1$$ )، $$\frac{7}{10}$$ (لأن $$\text{ PGCD } (7, 10)=1$$ )، $$\frac{-5}{11}$$ (لأن $$\text{ PGCD } (5, 11)=1$$ ). # ## لماذا نبسط الكسور؟ تبسيط الكسور يجعلها أسهل في الفهم والمقارنة والاستخدام في العمليات الحسابية اللاحقة (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة). إنها مهارة أساسية في الرياضيات. # ## طريقة التبسيط باستخدام القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لتحويل أي كسر $$\frac{a}{b}$$ إلى شكله غير القابل للاختزال، نتبع الخطوات التالية: 1. **حساب القاسم المشترك الأكبر (PGCD) للبسط $a$ والمقام $b$ **. يمكن استخدام إحدى الطريقتين: خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) أو خوارزمية الفروق المتتالية. خوارزمية إقليدس هي الأكثر فعالية وسرعة. 2. **قسمة كل من البسط والمقام على الـ PGCD الذي حصلنا عليه**. القاعدة الرياضية هي: $$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a \div \text{ PGCD } (a, b)}{b \div \text{ PGCD } (a, b)}$$ الكسر الجديد الذي نحصل عليه هو الكسر الأصلي في صورته غير القابلة للاختزال. # ## مثال تطبيقي مفصل لنطبق هذه الخطوات على الكسر $$\frac{24}{36}$$ كما هو مطلوب في سياق الدرس. **الخطوة 1: حساب PGCD(36, 24)** سنستخدم خوارزمية إقليدس: - نقسم العدد الأكبر على الأصغر: $$36 = 24 \times 1 + 12$$ - نقسم القاسم (24) على باقي القسمة (12): $$24 = 12 \times 2 + 0$$ آخر باقي غير معدوم هو 12. إذن، $$\text{ PGCD } (36, 24) = 12$$ . **الخطوة 2: قسمة البسط والمقام على 12** - نقسم البسط: $$24 \div 12 = 2$$ - نقسم المقام: $$36 \div 12 = 3$$ **النتيجة:** الكسر غير القابل للاختزال هو $$\frac{2}{3}$$ . إذن، $$\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$$ . يمكننا التحقق من أن $$\text{ PGCD } (2, 3) = 1$$ ، مما يؤكد أن الكسر في أبسط صورة.