النهايات والاستمرارية في البكالوريا: ملخص الدرس وطرق حل التمارين

درس النهايات والاستمرارية من أول دروس الرياضيات في السنة الثالثة ثانوي، وهو أساس كل ما يأتي بعده: دراسة الدوال، الدالة الأسية، الدالة اللوغاريتمية، والمتتاليات. تقريبا لا يخلو موضوع بكالوريا من سؤال عن نهاية أو مستقيم مقارب أو عن وجود حل لمعادلة. في هذا الملخص نجمع لك أهم النتائج والطرق، مع أمثلة محلولة وأخطاء يجب تجنبها.

1. حساب النهايات: القواعد الأساسية

النهايات المعتادة تحسب بالعمليات على النهايات (مجموع، جداء، حاصل قسمة). المشكلة تظهر في حالات عدم التعيين، وهي أربع:

• ∞ − ∞
• 0 × ∞
• ∞ / ∞
• 0 / 0

في هذه الحالات يجب تحويل العبارة قبل الحساب.

نهاية كثير حدود وناطقة عند اللانهاية

• نهاية كثير حدود عند +∞ أو −∞ هي نهاية حده الأعلى درجة.
• نهاية دالة ناطقة عند +∞ أو −∞ هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة في البسط والمقام.

مثال: lim(x→+∞) (3x² − 5x + 1)/(x² + 2) = lim(x→+∞) 3x²/x² = 3.

حالة 0/0: التحليل والاختزال

مثال: lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1). بالتعويض نجد 0/0. نحلل البسط: x² − 1 = (x − 1)(x + 1)، فتصبح العبارة x + 1 بعد الاختزال (من أجل x ≠ 1)، والنهاية تساوي 2.

مع الجذور، نستعمل غالبا الضرب في المرافق.

النهايات بالمقارنة

إذا كانت g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) بجوار +∞، وكانت g و h تؤولان إلى نفس العدد L، فإن f تؤول أيضا إلى L (مبرهنة الحصر). وإذا كانت f(x) ≥ g(x) و g تؤول إلى +∞، فإن f تؤول إلى +∞.

2. المستقيمات المقاربة

• مقارب أفقي: إذا كانت lim(x→±∞) f(x) = a، فالمستقيم ذو المعادلة y = a مقارب أفقي.
• مقارب عمودي: إذا كانت نهاية f عند العدد a (من اليمين أو اليسار) لانهائية، فالمستقيم x = a مقارب عمودي.
• مقارب مائل: المستقيم y = ax + b مقارب مائل عند +∞ إذا كانت lim(x→+∞) [f(x) − (ax + b)] = 0.

مثال: f(x) = x + 2 + 1/(x − 1).

• f(x) − (x + 2) = 1/(x − 1) تؤول إلى 0 عند ±∞، إذن y = x + 2 مقارب مائل.
• عندما x تؤول إلى 1 من اليمين، 1/(x − 1) تؤول إلى +∞، إذن x = 1 مقارب عمودي.
• الوضعية النسبية: ندرس إشارة f(x) − (x + 2) = 1/(x − 1): موجبة من أجل x > 1 (المنحنى فوق المقارب)، وسالبة من أجل x < 1 (المنحنى تحته).

3. الاستمرارية

نقول إن f مستمرة عند a إذا كانت lim(x→a) f(x) = f(a). الدوال المألوفة (كثيرات الحدود، الناطقة، الجذر...) مستمرة على كل مجال من مجموعة تعريفها. في التمارين، يطرح السؤال غالبا مع دالة معرفة بعبارتين: نحسب النهاية من اليمين ومن اليسار ونقارنهما بقيمة الدالة.

4. مبرهنة القيم المتوسطة

هذه المبرهنة من أكثر ما يُسأل عنه في البكالوريا. صيغتها المستعملة في التمارين:

إذا كانت f مستمرة ورتيبة تماما على [a ; b]، وكان f(a) و f(b) مختلفين في الإشارة، فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلا وحيدا α في المجال ]a ; b[.

مثال: f(x) = x³ + x − 1 على [0 ; 1].

1. f مستمرة (كثير حدود).
2. f′(x) = 3x² + 1 > 0، إذن f متزايدة تماما.
3. f(0) = −1 < 0 و f(1) = 1 > 0.
4. إذن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلا وحيدا α في ]0 ; 1[.

حصر α: f(0,6) = −0,184 < 0 و f(0,7) = 0,043 > 0، إذن 0,6 < α < 0,7.

أخطاء شائعة تضيع النقاط

• كتابة "∞ − ∞ = 0": هذه حالة عدم تعيين وليست صفرا.
• نسيان دراسة النهاية من اليمين ومن اليسار عند عدد تنعدم فيه قيمة المقام.
• تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة دون ذكر الشروط: الاستمرارية والرتابة التامة يجب ذكرهما صراحة وإلا ضاعت النقطة.
• الخلط بين المقارب الأفقي والمائل: المقارب الأفقي حالة خاصة (a = 0).
• إهمال الوضعية النسبية رغم أنها سؤال متكرر بعد المقارب المائل.

تمرين للتدريب

لتكن g(x) = (2x² − 3x + 1)/(x − 2) من أجل x ≠ 2.

1. احسب نهايات g عند −∞، +∞، وعند 2 من اليمين ومن اليسار.
2. بيّن أن g(x) = 2x + 1 + 3/(x − 2)، واستنتج مستقيما مقاربا مائلا.
3. ادرس الوضعية النسبية بين منحنى g وهذا المقارب.

تلميح: تحقق من المساواة في السؤال 2 بتوحيد المقامات.

أسئلة شائعة

هل هذا الدرس مقرر في كل الشعب العلمية؟

النهايات والاستمرارية جزء من برنامج الرياضيات في الشعب التي تدرس تحليل الدوال، مع اختلاف في العمق حسب الشعبة. تأكد من محتوى برنامجك مع أستاذك.

كيف أعرف أن هناك مقاربا مائلا؟

غالبا يعطيك التمرين المعادلة ويطلب منك البرهان. إذا لم يعطها، ففكر في مقارب مائل عندما تكون درجة البسط أكبر بواحد من درجة المقام.

هل يكفي أن تكون f مستمرة لتطبيق مبرهنة القيم المتوسطة؟

الاستمرارية وتغير الإشارة يضمنان وجود حل على الأقل. لإثبات أن الحل وحيد، تحتاج أيضا إلى الرتابة التامة.

خطوتك التالية

اكتب ملخصا لهذا الدرس بكلماتك، ثم حل التمرين أعلاه دون النظر إلى الأمثلة. بعدها ابحث في مواضيع البكالوريا السابقة عن الأسئلة الأولى من تمارين الدوال: ستجد أنها تعتمد كثيرا على ما راجعته اليوم.