الدرس 2 : جدول التقدم، المتفاعل المحد، والتقدم الأعظمي xmax والنهائي xf

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الثالثة ثانوي (شعاعات العلوم التجريبية، الرياضيات، وتسيير واقتصاد). بصفتي أستاذاً ومفتشاً تربوياً، أؤكد لكم أن وحدة **المتابعة الزمنية لتحول كيميائي في وسط مائي** تمثل حجر الأساس في امتحان شهادة البكالوريا (BAC)، وغالباً ما تضمن لكم رصيداً هاما من النقاط إذا تحكمتم في أدواتها بدقة. في هذا **الدرس الثاني**، سنعالج بدقة علمية متناهية أداة رياضية وكيميائية لا غنى عنها في كل مواضيع البكالوريا: **جدول التقدم (Tableau d'avancement)**، وكيفية استغلاله لتحديد **المتفاعل المحد (Le réactif limitant)**، وحساب **التقدم الأعظمي $x_{max}** و**التقدم النهائي $x_f**، بالإضافة إلى مفهوم **المزيج الستوكيومتري (Mélange stœchiométrique)**. إن فهمك العميق لهذا الدرس يغنيك عن حفظ الحلول العشوائية؛ بل يمنحك المفتاح المنهجي للإجابة عن أسئلة الجزء الأول والثاني في تمارين الكيمياء. لنبدأ على بركة الله. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية ### أ. مفهوم كمية المادة الابتدائية ($n_0$) وكيفية حسابها لكتابة جدول تقدم صحيح، يجب أولاً ضبط كميات المادة الابتدائية للمتفاعلات والنواتج بدقة بالـ (مول - $\text{mol}$). إليكم العلاقات الأساسية التي ترد دائماً في البكالوريا: 1. **للجسام الصلبة النقية:** $$n = \frac{m}{M}$$ حيث $m$ هي الكتلة بالغرام ($\text{g}$) و $M$ هي الكتلة المولية الجزيئية ($\text{g/mol}$). 2. **للجسام السائلة النقية أو المحاليل المائية:** - من تركيز وحجم: $$n = C \times V$$ حيث $C$ بوحدة ($\text{mol/L}$) و $V$ بوحدة ($\text{L}$). - من الكثافة والكتلة الحجمية: $$n = \frac{\rho \times V}{M} \quad \text{أو} \quad n = \frac{d \times \rho_{eau} \times V}{M}$$ 3. **للغازات المثالية:** $$n = \frac{V_{gaz}}{V_m}$$ حيث $V_{\text{gaz}}$ حجم الغاز و $V_m$ الحجم المولي ($\text{L/mol}$). ### ب. منهجية إنشاء جدول التقدم (Tableau d'avancement) نعتبر تفاعلاً كيميائياً مندمجاً ونموذجياً معادلته المنمذجة كالتالي: $$\alpha A + \beta B \rightarrow \gamma C + \delta D$$ يُبنى جدول التقدم بتقسيم التطور الزمني إلى ثلاث مراحل رئيسية (الحالة الابتدائية، الحالة الانتقالية، والحالة النهائية أو الاعظمية): | حالة التفاعل | التقدم ($x$) | $\alpha A$ | $+$ | $\beta B$ | $\longrightarrow$ | $\gamma C$ | $+$ | $\delta D$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **الحالة الابتدائية** ($t = 0$) | $0$ | $n_0(A)$ | | $n_0(B)$ | | $0$ أو $n_0(C)$ | | $0$ أو $n_0(D)$ | | **الحالة الانتقالية** ($t$) | $x(t)$ | $n_0(A) - \alpha x(t)$ | | $n_0(B) - \beta x(t)$ | | $\gamma x(t)$ | | $\delta x(t)$ | | **الحالة النهائية** ($t = t_f$) | $x_f$ | $n_0(A) - \alpha x_f$ | | $n_0(B) - \beta x_f$ | | $\gamma x_f$ | | $\delta x_f$ | ### ج. المتفاعل المحد (Le réactif limitant) والتقدم الأعظمي ($x_{max}$) * **المتفاعل المحد:** هو المتفاعل الذي ينتهي كلياً أولاً، أي تنعدم كمية مادته في الحالة النهائية ($t = t_f$). هو المسؤول عن توقف التفاعل الكيميائي. * **التقدم الأعظمي ($x_{max}$):** هو القيمة القصوى التي يبلغها تقدم التفاعل $x$. * **طريقة إيجاده رياضياً في البكالوريا:** نفرض جدلاً أن المتفاعل `A` هو المحد، فنضع: $$n_0(A) - \alpha x_{max} = 0 \implies x_{max}^{(1)} = \frac{n_0(A)}{\alpha}$$ ثم نفرض أن المتفاعل `B` هو المحد، فنضع: $$n_0(B) - \beta x_{max} = 0 \implies x_{max}^{(2)} = \frac{n_0(B)}{\beta}$$ **القاعدة الذهبية:** القيمة الصحيحة للتقدم الأعظمي $x_{max}$ هي **القيمـة الأصغـر** بين القيمتين المحسوبتين: $$x_{max} = \min \left( \frac{n_0(A)}{\alpha}, \frac{n_0(B)}{\beta} \right)$$ والمتفاعل الموافق لهذه القيمة الأصغر هو **المتفاعل المحد**. ### د. المزيج الستوكيومتري (Mélange stœchiométrique) يُقال عن مزيج تفاعلي أنه ستوكيومتري إذا نفذ المتفاعلان معاً في نفس اللحظة في الحالة النهائية، أي أن كلاً منهما يعتبر متفاعلاً محداً. رياضياً، يتحقق الشرط التالي: $$\frac{n_0(A)}{\alpha} = \frac{n_0(B)}{\beta}$$ وفي هذه الحالة، لا يوجد متفاعل محد بل ينتهيان معاً. --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة ### تطبيق نموذجي مباشر: نحقق تحولاً كيميائياً بإدخال كتلة $m = 2.4 \, \text{g}$ من معدن المغنسيوم المجزأ $Mg_{(s)}$ في حجم $V = 100 \, \text{mL}$ من محلول حمض كلور الماء $(H_3O^+_{(aq)} + Cl^-_{(aq)})$ تركيزه المولي $C = 0.4 \, \text{mol/L}$. **المعطيات:** الكتلة المولية للمغنسيوم $M(Mg) = 24 \, \text{g/mol}$. معادلة التفاعل المنمذجة للتحول هي: $$Mg_{(s)} + 2H_3O^+_{(aq)} \rightarrow Mg^{2+}_{(aq)} + H_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$$ **الأسئلة:** 1. احسب كميات المادة الابتدائية للمتفاعلات. 2. أنشئ جدول التقدم لهذا التحول. 3. جد المتفاعل المحد وقيمة التقدم الأعظمي $x_{max}$. --- **الحل النموذجي المفصل (منهجية البكالوريا):** **الخطوة 1: حساب كميات المادة الابتدائية ($n_0$)** - بالنسبة للمغنسيوم (`Mg`): $$n_0(Mg) = \frac{m}{M} = \frac{2.4}{24} = 0.1 \, \text{mol}$$ - بالنسبة لأعيان شاردة الأكسونيوم ($H_3O^+$): $$n_0(H_3O^+) = C \times V = 0.4 \times 0.1 = 0.04 \, \text{mol}$$ *(ملاحظة تفتيشية: انتبه دائماً لتحويل الحجم من المليلتر إلى اللتر بالضرب في $10^{-3}$).* **الخطوة 2: إنشاء جدول التقدم** نضع الجدول مع احترام الرموز والأعداد السطوكيومترية: | معادلة التفاعل | $Mg_{(s)}$ | $+$ | $2H_3O^+_{(aq)}$ | $\longrightarrow$ | $Mg^{2+}_{(aq)}$ | $+$ | $H_{2(g)}$ | $+$ | $2H_2O_{(l)}$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **الحالة ($x=0$)** | $0.1$ | | $0.04$ | | $0$ | | $0$ | | بزيادة ($excess$) | | **الحالة ($x$)** | $0.1 - x$ | | $0.04 - 2x$ | | $x$ | | $x$ | | بزيادة | | **الحالة ($x_{max}$)** | $0.1 - x_{max}$ | | $0.04 - 2x_{max}$ | | $x_{max}$ | | $x_{max}$ | | بزيادة | **الخطوة 3: تحديد المتفاعل المحد و $x_{max}$** - الفرضية الأولى: نفترض أن `Mg` هو المتفاعل المحد: $$0.1 - x_{max}^{(1)} = 0 \implies x_{max}^{(1)} = 0.1 \, \text{mol}$$ - الفرضية الثانية: نفترض أن $H_3O^+$ هو المتفاعل المحد: $$0.04 - 2x_{max}^{(2)} = 0 \implies x_{max}^{(2)} = \frac{0.04}{2} = 0.02 \, \text{mol}$$ نقارن القيمتين: $\min(0.1 \, ; 0.02) = 0.02 \, \text{mol}$. - إذن: **التقدم الأعظمي هو:** $x_{max} = 0.02 \, \text{mol}$. - **المتفاعل المحد هو:** شاردة الأكسونيوم ($H_3O^+$). --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط إليك تمرين مقترح بعناية على غرار مواضيع البكالوريا الرسمية، مصحوباً بسلم تنقيط دقيق لتقييم نفسك. ### نص التمرين: نتابع تطور تحول كيميائي بطيء يحدث بين محلول يود البوتاسيوم $(K^+_{(aq)} + I^-_{(aq)}$) ومحلول بيروكزوسلفات البوتاسيوم $(2K^+_{(aq)} + S_2O_8^{2-}_{(aq)})$ بوضع حجم $V_1 = 100 \, \text{mL}$ من محلول يود البوتاسيوم تركيزه المولي $C_1 = 0.4 \, \text{mol/L}$ في حوجلة، ونضيف إليه عند اللحظة $t=0$ حجماً $V_2 = 100 \, \text{mL}$ من محلول بيروكزوسلفات البوتاسيوم تركيزه المولي $C_2 = 0.05 \, \text{mol/L}$. معادلة التفاعل المنمذجة للتحول هي: $$2I^-_{(aq)} + S_2O_8^{2-}_{(aq)} \rightarrow I_{2(aq)} + 2SO_4^{2-}_{(aq)}$$ 1. أحسب كميات المادة الابتدائية لكل من المتفاعلين ($I^-$ و $S_2O_8^{2-}$). **(01.00 نقطة)** 2. أنشئ جدول التقدم لهذا التحول الكيميائي. **(01.50 نقطة)** 3. عيّن المتفاعل المحد واستنتج قيمة التقدم الأعظمي $x_{max}$. **(01.50 نقطة)** 4. هل المزيج الابتدائي ستوكيومتري؟ علّل. **(01.00 نقطة)** --- ### الإجابة النموذجية وسلم التنقيط: **السؤال 1:** حساب كميات المادة الابتدائية: **(01.00 نقطة)** - $n_0(I^-) = C_1 \times V_1 = 0.4 \times 0.1 = 0.04 \, \text{mol}$ **(0.50)** - $n_0(S_2O_8^{2-}) = C_2 \times V_2 = 0.05 \times 0.1 = 0.005 \, \text{mol}$ **(0.50)** **السؤال 2:** جدول التقدم: **(01.50 نقطة)** *(توزيع التنقيط: العنوان والحالات 0.5، القيم الابتدائية 0.5، التعبير بالحرف $x$ 0.5)* *(الجدول يتضمن المتفاعلين $2I^-$ و $S_2O_8^{2-}$ والنواتج $I_2$ و $2SO_4^{2-}$ مع المعاملات الستوكيومترية الصحيحة).* **السؤال 3:** تحديد المتفاعل المحد و $x_{max}$: **(01.50 نقطة)** - الفرضية 1: $0.04 - 2x_{max}^{(1)} = 0 \implies x_{max}^{(1)} = 0.02 \, \text{mol}$ **(0.50)** - الفرضية 2: $0.005 - x_{max}^{(2)} = 0 \implies x_{max}^{(2)} = 0.005 \, \text{mol}$ **(0.50)** - المقارنة والاستنتاج: بما أن $0.005 < 0.02$ فإن: - **التقدم الأعظمي:** $x_{max} = 0.005 \, \text{mol}$ **(0.25)** - **المتفاعل المحد:** $S_2O_8^{2-}$ **(0.25)** **السؤال 4:** هل المزيج الابتدائي ستوكيومتري؟ **(01.00 نقطة)** - نحسب النسبة: $\frac{n_0(I^-)}{2} = \frac{0.04}{2} = 0.02$ ونقارنها مع $\frac{n_0(S_2O_8^{2-})}{1} = \frac{0.005}{1} = 0.005$. **(0.50)** - بما أن $\frac{n_0(I^-)}{2} \neq \frac{n_0(S_2O_8^{2-})}{1}$ ($0.02 \neq 0.005$)، فإن **المزيج الابتدائي ليس ستوكيومترياً**. **(0.50)** --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي الطلبة، لتفادي فقدان درجات مجانية في هذا الجزء بالبكالوريا، أقدم لكم هذه النصائح الذهبية من واقع تصحيح أوراق الامتحانات الرسمية: 1. **إهمال الوحدات والتحويلات:** خطأ شائع جداً يتمثل في عدم تحويل الحجم من الـ $\text{mL}$ إلى الـ $\text{L}$ ($V \times 10^{-3}$) أو الكتلة إلى الغرام. دقق دائماً في وحداتك. 2. **نسيان المعاملات الستوكيومترية:** عند حساب $x_{max}$ ، ينسى التلميذ القسمة على المعامل الموجود في المعادلة (مثلاً القسمة على 2 في حالة $2H_3O^+$ أو $2I^-$)، مما يؤدي إلى قيمة خاطئة تماماً تنسف بقية التمرين. 3. **الخلط بين $x_{max}$ و $x_f$:** - $x_{max}$ نحسبه نظرياً باستخدام كميات المادة الابتدائية والفرضيات بغض النظر عن كون التفاعل تاماً أو غير تام. - $x_f$ (التقدم النهائي) يُستنتج تجريبياً (من بيانات البيان، أو قياس الناقلية، أو المعايرة) في نهاية التفاعل الفعلي. إذا كان التفاعل تاماً، فإن $x_f = x_{max}$. 4. **كتابة الجدول:** احرص على أن يكون جدول التقدم منظماً وواضحاً بخط مقروء ومستخدماً الرمز $\text{mol}$ في خانات كميات المادة، فالمصحح يبحث عن دقة المنهجية. بالتوفيق والنجاح الدائم في مشواركم الدراسي نحو نيل شهادة البكالوريا بتفوق وتميز (امتياز). دمتم مجتهدين! ---  *Tableau d'Avancement & Courbe de Titrage*