# الدرس 1 : المراجع العطالية (الغاليلية) وشعاعا السرعة والتسارع **المستوى:** السنة الثالثة ثانوي (3AS) **الشعبة:** علوم تجريبية، رياضيات، تقني رياضي **المادة:** مادة العلوم الفيزيائية **المرجع:** المناهج الرسمية للتربية الوطنية في الجزائر (إعداد المفتشية العامة للتربية والتكوين) --- ## 1. مدخل ومفاهيم أساسية تعتبر الميكانيكا الكلاسيكية (الميكانيكا النيوتونية) حجر الأساس في دراسة حركة الأجسام في الكون المرئي. لتحديد حركة أي جملة ميكانيكية (Système mécanique)، يجب أولاً اختيار جسم مرجعي (Référentiel) ننسب إليه حركة هذه الجملة، مزوداً بمعلم مكاني (Repère d'espace) لتحديد الأوضاع ومعلم زمني (Repère de temps) لقياس الأزمنة. * **المرجع (Le Référentiel) :** هو جسم صلْب نعتبره مرجعياً (ثابتاً بالنسبة لنا) ونرتبط به لدراسة حركة جملة ما. * **المرجع العطالي أو الغاليلي (Référentiel Galiléen) :** هو كل مرجع تتحقق فيه **قשط العطالة** (Loi d'inertie أو قانون نيوتن الأول)، أي أن الجسم الخاضع لقوى متعدلة (محصلة القوى المعدومة $\sum \vec{F} = \vec{0}$) أو غير خاضع لأي قوة، إما أن يكون ساكناً أو في حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لهذا المرجع. في برنامج البكالوريا الجزائري، نعتمد أساساً على ثلاثة مراجع أساسية لدراسة حركات الكواكب، السواتل (الأقمار الصناعية)، والأجسام على سطح الأرض: 1. **المرجع السطحي الأرضي (Terrestre) :** مرتبط بمرجع أرضي محلي، نعتبره عطالياً لدراسة الحركات قصيرة المدة (سقوط أجسام، حركة على مائل، قذائف). 2. **المرجع المركزي الأرضي (Géocentrique) :** مركزه ينطبق على مركز الأرض ومحاوره موجهة نحو نجوم ثابتة، نستخدمه لدراسة حركة القمر والأقمار الصناعية حول الأرض. 3. **المرجع المركزي الشمسي (Héliocentrique) :** مركزه مركز الشمس ومحاوره موجهة نحو نجوم ثابتة، نستخدمه لدراسة حركة الكواكب والمذنبات في المجموعة الشمسية. أما لتوصيف الحركة هندسياً ورياضياً، فنستعمل **معلم الفرينا (Repère de Frenet)** عندما تكون الحركة منحنية، حيث يتكيف هذا المعلم محلياً مع مسار المتحرك لتسهيل تحليل شعاعي السرعة والتسارع. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية ### أ. شعاع السرعة وشعاع التسارع في الإحداثيات الديكارتية ليكن متحرك $M$ موضحه في معلم متعامد ومتجانس $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ يُعطى بشعاع الموضع: $$\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$$ * **شعاع السرعة (Vecteur vitesse) :** هو المشتق الزمني لشعاع الموضع. $$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = v_x(t)\vec{i} + v_y(t)\vec{j} + v_z(t)\vec{k}$$ حيث المركبات هي: $v_x = \frac{dx}{dt}$ ، $v_y = \frac{dy}{dt}$ ، $v_z = \frac{dz}{dt}$. طويلة شعاع السرعة (السرعة اللحظية) تحسب بالعبارة: $$v(t) = \|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$ * **شعاع التسارع (Vecteur accélération) :** هو المشتق الزمني لشعاع السرعة، أو المشتق الثاني لشعاع الموضع. $$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$$ حيث: $a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ وهكذا. --- ### ب. معلم فريني (Repère de Frenet) وحركاته في المسارات المنحنية في المسارات الدائرية أو المنحنية، يُفضل استعمال معلم محلي $\left(M, \vec{u}_T, \vec{u}_N\right)$ مرتبط بالمتحرك $M$ ، حيث: * $\vec{u}_T$ : شعاع ناظمي مماس للمسار في كل نقطة وموجه في جهة الحركة. * $\vec{u}_N$ : شعاع ناظمي عمودي على المسار في النقطة $M$ وموجه نحو مركز انحناء المسار. في هذا المعلم، يُكتب شعاع التسارع $\vec{a}$ على الشكل المركب التالي: $$\vec{a} = a_T \vec{u}_T + a_N \vec{u}_N$$ حيث: 1. **التسارع المماسي ($a_T$) :** مسؤول عن تغير **شدة** السرعة. $$a_T = \frac{dv}{dt}$$ * إذا كانت الحركة منتظمة: $v = \text{cst} \implies a_T = 0$. * إذا كانت الحركة متسارعة: $a_T > 0$ ($\vec{v}$ و $\vec{a}_T$ في نفس الجهة). * إذا كانت الحركة متباطئة: $a_T < 0$ ($\vec{v}$ و $\vec{a}_T$ متعاكسان). 2. **التسارع الناظمي ($a_N$) :** مسؤول عن تغير **اتجاه** السرعة. $$a_N = \frac{v^2}{R}$$ حيث $v$ هي السرعة اللحظية و $R$ هو نصف قطر انحناء المسار في تلك النقطة (وفي حالة الحركة الدائرية $R$ هو نصف قطر الدار). إذن، طويلة شعاع التسارع في معلم فريني تعطى بالمتطابقة: $$a = \|\vec{a}\| = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = \sqrt{\left(\frac{dv}{dt}\right)^2 + \left(\frac{v^2}{R}\right)^2}$$ --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة ### تطبيق 1 : تحليل حركة سيارة على منعطف دائري **النص :** تسير سيارة كتلتها $m = 1000\text{ kg}$ على مسار دائري أفقي نصف قطره $R = 50\text{ m}$ بسرعة ثابتة $v = 20\text{ m/s}$. أوجد مركبتي شعاع التسارع في معلم فريني ثم احسب طويلته. **الحل النموذجي:** 1. بما أن السرعة ثابتة ($v = 20\text{ m/s} = \text{cst}$)، إذن مشتق السرعة بالنسبة للزمن معدوم: $$a_T = \frac{dv}{dt} = 0\text{ m/s}^2$$ 2. حساب التسارع الناظمي $a_N$: $$a_N = \frac{v^2}{R} = \frac{(20)^2}{50} = \frac{400}{50} = 8\text{ m/s}^2$$ 3. طويلة شعاع التسارع: $$a = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8\text{ m/s}^2$$ > 💡 **نصيحة الأستاذ (Astuce BAC) :** في الحركات الدائرية المنتظمة، احذر أن تظن أن التسارع معدوم! التسارع المماسي وحده معدوم، أما التسارع الناظمي فيكون أعظمياً لأن اتجاه السرعة يتغير باستمرار. --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط **النص الكلاسيكي (استخراج معلومات من منحنى بياني وتطبيق قوانين نيوتن ومعلم فريني):** نعتبر جسماً صلباً $S$ كتلته $m = 200\text{ g}$ ينزلق على مسار دائري شعاع انحنائه $R = 2{,}5\text{ m}$. تمت دراسة حركة مركزه $M$ في مرجع سطحي أرضي نعتبره غاليلياً، فتم الحصول على البيان الممثل لتغيرات مربع السرعة بدلالة الزمن $v^2(t)$ حيث يعطى بالدالة: $v^2(t) = 4t + 16$ (بحدود الوحدات الدولية SI). 1. **(01,00 نقطة)** عرّف المرجع العطالي، وبين أي المراجع الثلاثة يناسب هذه الدراسة ولماذا؟ 2. **(01,50 نقطة)** أوجد عبارة التسارع المماسي $a_T$ والتسارع الناظمي $a_N$ بدلالة الزمن $t$. 3. **(01,50 نقطة)** احسب شدة شعاع التسارع الكلي في اللحظة $t = 2\text{ s}$. --- ### الإجابة النموذجية المفصلة وسلم التنقيط 1. **تعريف المرجع العطالي وتعيينه:** * **التعريف (0,50 ن):** هو المرجع الذي يتحقق فيه مبدأ العطالة (قانون نيوتن الأول)، بحيث تبقى محصلة القوى الخارجية المعدومة تضمن سكون أو حركة مستقيمة منتظمة للجسم. * **التعيين والتعليل (0,50 ن):** المرجع المناسب هو **المرجع السطحي الأرضي**، لأنه يدرس حركة قصيرة المدة على سطح الأرض. 2. **عبارة التسارع المماسي والناظمي:** * لدينا من المعطيات: $v^2(t) = 4t + 16$. * إذن السرعة هي: $v(t) = \sqrt{4t + 16}$. * **التسارع المماسي (0,75 ن):** $a_T = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left((4t+16)^{1/2}\right) = \frac{1}{2} \times 4 \times (4t+16)^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{4t+16}}$ * **التسارع الناظمي (0,75 ن):** $a_N = \frac{v^2}{R} = \frac{4t + 16}{2{,}5} = 1.6t + 6{,}4$ 3. **حساب شدة التسارع في اللحظة $t = 2\text{ s}$:** * حساب $a_T$ عند $t = 2\text{ s}$ (0,50 ن): $$a_T(2) = \frac{2}{\sqrt{4(2) + 16}} = \frac{2}{\sqrt{24}} = \frac{2}{4{,}898} \approx 0{,}41\text{ m/s}^2$$ * حساب $a_N$ عند $t = 2\text{ s}$ (0,50 ن): $$a_N(2) = 1{,}6(2) + 6{,}4 = 3{,}2 + 6{,}4 = 9{,}6\text{ m/s}^2$$ * حساب التسارع الكلي $a$ (0,50 ن): $$a = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = \sqrt{(0{,}41)^2 + (9{,}6)^2} = \sqrt{0{,}1681 + 92{,}16} = \sqrt{92{,}3281} \approx 9{,}61\text{ m/s}^2$$ --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة عزيزي التلميذ، طالب البكالوريا المتميز، لضمان العلامة الكاملة في تمارين الميكانيكا، يجب الانتباه إلى النقاط الهامة التالية التي يقع فيها أغلب الممتحنين: 1. **الخلط بين المراجع:** لا تخلط أبداً بين الشروط المطبقة. عند دراسة السواتل والكواكب، المرجع إلزامي أن يكون **مركزياً أرضياً** أو **مركزياً شمسياً**، وإهمال تأثير دوران الأرض يجعل المرجع السطحي الأرضي غاليلياً تقريبياً فقط في المدد القصيرة. 2. **وحدات القياس:** احرص دائماً على تحويل الوحدات إلى النظام الدولي (SI) قبل إجراء أي حسابات عددية (الكتلة بـ kg، المسافة بـ m، الزمن بـ s). 3. **معلم فريني:** تذكر جيداً أن $a_N$ لا ينعدم أبداً إلا إذا كان المسار مستقيماً ($R \to \infty$)، وأن $a_T$ مرتبط حصراً بتغير شدة السرعة ولا علاقة له باتجاهها. 4. **طريقة الإشتقاق:** في إيجاد $a_T$ من عبارة $v(t)$ أو $v^2(t)$ ، استعمل القواعد الرياضية بحذر (يمكنك الاشتقاق مباشرة من $v(t)$ بعد استخراجها بالجذر، أو اشتقاق العلاقة $2v \cdot \frac{dv}{dt} = \frac{d(v^2)}{dt}$). **بالتوفيق والنجاح في امتحان شهادة البكالوريا بتفوق وتميز.**