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1.1 Domaines de définition, éléments de symétrie et lecture graphique

Référentiel Officiel MEN — Terminale 3AS

Ce module pose les bases indispensables de l'analyse en Terminale. Aucune étude de fonction au BAC ne peut démarrer sans la maîtrise parfaite du domaine de définition et des éléments de symétrie.

1. Détermination Rigoureuse des Ensembles de Définition ($D_f$)

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression $f(x)$ existe et possède un sens mathématique dans $\mathbb{R}$.

Type d'expression	Condition d'existence	Exemple d'application
Fraction rationnelle $\frac{P(x)}{Q(x)}$	$Q(x) \neq 0$	$f(x) = \frac{2x+1}{x^2 - 4} \implies x^2 - 4 \neq 0 \implies D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$
Radical $\sqrt{U(x)}$	$U(x) \ge 0$	$g(x) = \sqrt{3-2x} \implies 3-2x \ge 0 \implies D_g = \left]-\infty; \frac{3}{2}\right]$
Quotient avec radical $\frac{A(x)}{\sqrt{B(x)}}$	$B(x) > 0$ strictement	$h(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \implies x^2 - 1 > 0 \implies D_h = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$

⚠️ Le Piège Classique au BAC Algérien : Dans l'expression $\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$, la condition est $\frac{x+1}{x-2} \ge 0$ et $x \neq 2$ (tableau de signes complet obligatoire). En revanche, pour $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$, il faut à la fois $x+1 \ge 0$ et $x-2 > 0$ ! Ces deux fonctions n'ont pas le même domaine de définition.

2. Éléments de Symétrie de la Courbe Représentative $C_f$

Identifier un axe ou un centre de symétrie permet de réduire l'intervalle d'étude et de valider les calculs de limites et de variations.

Axe de Symétrie $(\Delta) : x = a$

La droite d'équation $x = a$ est axe de symétrie de $C_f$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :

$(2a - x) \in D_f$
$f(2a - x) = f(x)$

Cas particulier $a = 0$ : $f(-x) = f(x)$, la fonction est paire, l'axe des ordonnées est axe de symétrie.

Centre de Symétrie $\Omega(a; b)$

Le point $\Omega(a; b)$ est centre de symétrie de $C_f$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :

$(2a - x) \in D_f$
$f(2a - x) + f(x) = 2b$ (ou $\frac{f(a+h) + f(a-h)}{2} = b$)

Cas particulier $\Omega(0; 0)$ : $f(-x) = -f(x)$, la fonction est impaire, l'origine est centre de symétrie.

3. Lecture Graphique des Limites

À l'épreuve du BAC, la première question demande fréquemment d'extraire des limites à partir d'une courbe ou d'un tableau de variations donné :

Si la courbe "longe" une droite verticale $x = x_0$ en montant ou descendant indéfiniment $\implies \lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$.
Si la courbe s'écrase horizontalement vers une droite $y = L$ quand $x$ s'éloigne vers l'infini $\implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.

Fonctions Numériques : Limites, Continuité, Asymptotes et TVI (3AS — Excellence BAC)