الدرس 2 : الاستمرار ونظرية القيم المتوسطة (TVI) وإثبات وجود الحلول وحصرها

## 1. مدخل ومفاهيم أساسية (Introduction concrète et concepts) أهلاً بكم أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الثالثة ثانوي (شعع ریاضیات، تقني رياضي، علوم تجريبية). بصفتي مفتشاً تربدوياً، أؤكد لكم أن محور الدوال العددية، ولا سيما الدوال الأسية واللوغاريتمية، يمثل حجر الأساس لشهادة البكالوريا (BAC). من بين أهم الأبواب التي تُطرح باستمرار في الموضوع الثاني أو الأول نجد موضوع **الاستمرار ونظرية القيم المتوسطة (Théorème des Valeurs Intermédiaires - TVI)**. تخيل معي منحنى دالة رياضية مرسومًا على ورقة مليمترية. نقول عن دالة أنها **مستمرة (Continue)** على مجال ما إذا استطعنا رسم منحناها البياني دون رفع القلم عن الورقة؛ أي لا توجد قفزات، انقطاعات، أو فجوات. في الرياضيات، نترجم هذا هندسياً وتحليلياً بأن النهايات من اليمين تساوي النهاية من اليسار وتساوي قيمة الدالة عند النقطة نفسها. أما **مبرهنة القيم المتوسطة (TVI)**، فهي أداة سحرية يمنحها لنا التحليل الرياضي لإثبات وجود حلول لمعادلات معقدة مثل $f(x) = 0$ أو $f(x) = k$ دون الحاجة بالضرورة إلى حلها صريحاً (وهو أمر مستحيل غالباً في الدوال المركبة). ترتكز هذه النظرية على بديهية بسيطة: إذا انطلقت من نقطة تحت محور الفواصل (قيمة سالبة) ووصلت إلى نقطة فوق محور الفواصل (قيمة موجبة) عبر مسار مستمر، فلا بد أنك قطعت محور الفواصل في نقطة واحدة على الأقل! --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية (Théorie et formules en LaTeX strict) ### أ. مفهوم الاستمرار (Continuité) تكون الدالة `f` مستمرة عند النقطة $x_0$ إذا تحقق الشرط التالي: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ وتكون `f` مستمرة على مجال مغلق $[a, b]$ إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذا المجال. في برنامج البكالوريا، جميع الدوال المألوفة (كثيرات الحدود، الناطقة، الصماء، الأسية $e^x$ واللوغاريتمية $\ln(x)$) هي **دوال مستمرة** على كل مجال من مجموعة تعريفها. ### ب. مبرهنة القيم المتوسطة (Théorème des Valeurs Intermédiaires - TVI) **النص الرياضي الرسمي:** لتكن `f$دالة معرفة ومستمرة على المجال المغلق [a, b]. لكل عدد حقيقي$k محصور بين `f(a)` و `f(b)` (أي $f(a) \le k \le f(b)$$ أو `f(b) \le k \le f(a)`)، يوجد على الأقل عدد حقيقي `c` في المجال المفتوح `(a, b)$ بحيث: $$f(c) = k$$ ### ج. الحالة الخاصة الأكثر طلباً في البكالوريا: إثبات وجود وحصر حل للمعادلة $f(x) = 0$ لكي نبرهن أن المعادلة $f(x) = 0$ تقبل **حلاً وحيداً $\alpha$** في المجال$[a, b]$ ، يجب أن تتوفر الشروط الأربعة التالية وصياغتها بدقة في ورقة الإجابة: 1. **الاستمرار:** الدالة `f` مستمرة على المجال $[a, b]$. 2. **الرتابة:** الدالة `f$رتماماً (إما متناقصة تماماً أو متزايدة تماماً) على المجال [a, b] (وهو ما يثبت من خلال حساب المشتقة$f'(x)` وتحديد إشارتها). 3. **جداء الجداءين (حاصل الضرب):** جداء صورتي الحدين سالباً قطعا: $$f(a) \times f(b) < 0$$ (أي أن `f(a)` و `f(b)` مختلفان في الإشارة). 4. **النتيجة:** حسب مبرهنة القيم المتوسطة (أوCorollary de TVI)، المعادلة $f(x) = 0$ تقبل حلاً **وحيداً** $\alpha` في المجال `[a, b]` حيث `a < \alpha < b$. ### د. حصر الحل $\alpha` (Encadrement de `\alpha$) بعد إثبات وجود الحل الوحيد $\alpha`، يطلب منا غالباً حصره إلى غاية رتبة معين (مثلاً $10^{-1}$ أو `10^{-2}$). نعتمد في ذلك على تقنية **تنصيف المجال (Dichotomie)** أو استخدام الآلة الحاسبة البيانية/العلمية باتباع جدول القيم (Table de valeurs). --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة (Applications résolues pas-à-pas avec astuces) ### المثال النموذجي: لتكن الدالة العددية `f` المعرفة على المجال $]0, +\infty[$ بـ: $$f(x) = x - 1 + \ln(x)$$ 1. أدرس إشارة المشتقة $f'(x)$ ثم شكل جدول تغيرات الدالة `f`. 2. برهن أن المعادلة $f(x) = 0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha` في المجال $[1, e]$، ثم أعط حصر لها سعة `0.1$. --- ### الحل النموذجي المفصل (منهجية البكالوريا): #### السؤال 1: حساب المشتقة وجدول التغيرات الدالة `f` قابلة للاستتقاق على المجال $]0, +\infty[$ لأنها مجموع دالتين قابلتين للاستقاق (دالة خطية ودالة لوغاريتمية). لكل $x \in ]0, +\infty[$: $$f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$$ بما أن $x > 0$ فإن $\frac{1}{x} > 0$ ، ومنه: $$f'(x) > 0$$ إذن، الدالة `f` **متزايدة تماماً** على المجال $]0, +\infty[$. حساب النهايات: - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 1 + \ln(x)) = -1 - \infty = -\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x - 1 + \ln(x)) = +\infty - 1 + \infty = +\infty$. #### السؤال 2: إثبات أن $f(x) = 0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha` في `[1, e]$ وحصره نطبق الشروط الأربعة بدقة: 1. **الاستمرار:** الدالة `f` مستمرة على المجال المغلق $[1, e]$ (لأنها مجموعة دالتين مستمرتين). 2. **الرتابة:** الدالة `f` متزايدة تماماً على المجال $[1, e]$ (استنتاجاً من إشارة المشتقة السابقة). 3. **حساب الصور:** - $f(1) = 1 - 1 + \ln(1) = 0 + 0 = 0`. (انتظر! هنا $f(1) = 0$ تماماً، إذن `\alpha = 1$ هو حل واضح!). *تصحيح منهجي دقيق:* لنفرض أن المجال المطلوب في التمرين هو $[1.2, 1.5]$ لكي نطبق TVI بحذافيرها بشكل تقليدي: نحسب الصور في المجال $[1.2, 1.5]$: - $f(1.2) = 1.2 - 1 + \ln(1.2) \approx 0.2 + 0.182 = 0.382 > 0` (خطأ، لنأخذ مجالاً أدق وليكن `[0.5, 1]$): - $f(0.5) = 0.5 - 1 + \ln(0.5) = -0.5 - 0.693 = -1.193$ - $f(1) = 0$ - نختار المجال $[0.5, 1]$ مثلاً؟ عذراً، لنجعل التمرين كلاسيكياً تماماً: ليكن المجال $[0.2, 0.4]$ أو لنفترض دالة أخرى: لتكن $f(x) = x^3 + x - 1$. - الدالة مستمرة على $[0, 1]$. - $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ (متزايدة تماماً). - $f(0) = -1$ و $f(1) = 1$. - بما أن $f(0) \times f(1) = (-1) \times 1 = -1 < 0$. - إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد حل وحيد $\alpha \in [0, 1]` حيث `f(\alpha) = 0$. *حصر الحل $\alpha` بسعة `0.1$ باستخدام جدول القيم (بالآلة الحاسبة):* - $f(0) = -1$ - $f(0.5) = (0.5)^3 + 0.5 - 1 = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375 < 0$ - $f(0.6) = (0.6)^3 + 0.6 - 1 = 0.216 + 0.6 - 1 = -0.184 < 0$ - $f(0.7) = (0.7)^3 + 0.7 - 1 = 0.343 + 0.7 - 1 = 0.043 > 0$ بما أن $f(0.6) < 0$ و $f(0.7) > 0$، فإن الحل $\alpha` محصور بين $0.6$ و `0.7$: $$0.6 < \alpha < 0.7$$ وسعة هذا الحصر هي $0.7 - 0.6 = 0.1$. وهو المطلوب! --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط **التمرين (مستوحى من باكالوريا شعبة علوم تجريبية):** لتكن الدالة العددية `g` المعرفة على المجال $\mathbb{R}$ كما يلي: $$g(x) = x e^x - 1$$ 1. أثبت أن الدالة `g$متزايدة تماماً على \mathbb{R}$، ثم احسب نهايتي `g` عند $-\infty$ و`+\infty$. (01.5 نقطة) 2. أثبت أن المعادلة $g(x) = 0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha` في `\mathbb{R}$. (01.0 نقطة) 3. تحقق أن $\alpha \in [0.5, 0.6]`، ثم استنتج إشارة $g(x)$ على `\mathbb{R}$. (01.5 نقطة) --- ### الإجابة النموذجية وسلم التنقيط المفصل: 1. **دراسة اتجاه التغيرات والنهايات:** (01.5 ن) - حساب المشتقة: الدالة `g` قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ ولدينا: $$g'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$$ **(0.5 ن)** - إشارة $g'(x)$ من إشارة $(1 + x)$ لأن $e^x > 0$ تماماً: - إذا كان $x > -1$ فإن $g'(x) > 0$. - الدالة `g$متزايدة تماماً على المجال [-1, +\infty[$ (وفي الواقع على `\mathbb{R}$ لأنها متزايدة تماماً على مجاليها وتستمر بانسيابية). **(0.5 ن)** - النهايات: - $\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} (x e^x - 1) = 0 - 1 = -1` (بالنهايات الشهيرة `x e^x \to 0$). **(0.25 ن)** - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \times (+\infty) - 1 = +\infty$. **(0.25 ن)** 2. **إثبات أن $g(x) = 0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha` في `\mathbb{R}$:** (01.0 ن) - نطبق مبرهنة القيم المتوسطة على المجال $\mathbb{R}` (أو نحدد مجالاً واسعاً مثل $[-1, +\infty[$ حيث `g(-1) = -e^{-1} - 1 < 0$): - الدالة `g` **مستمرة** على المجال $[0, 1]$ (مثلاً). **(0.25 ن)** - الدالة `g` **متزايدة تماماً** على هذا المجال. **(0.25 ن)** - $g(0) = 0 \cdot e^0 - 1 = -1` و `g(1) = 1 \cdot e^1 - 1 = e - 1 \approx 1.72$. **(0.25 ن)** - بما أن $g(0) \times g(1) = (-1)(1.72) < 0$وحسب **مبرهنة القيم المتوسطة**، فإن المعادلة$g(x) = 0` تقبل حلاً وحيداً `\alpha` في المجال $[0, 1]$ (وبما أن الدالة متزايدة تماماً على `\mathbb{R}` والنهايات تتoع من $-1$ إلى $+\infty$ فالنقطة وحيدة في `\mathbb{R}$ بأكمله). **(0.25 ن)** 3. **التحقق من الحصر واستنتاج الإشارة:** (01.5 ن) - نحسب الصور عند الأطراف المعطاة: - $g(0.5) = 0.5 e^{0.5} - 1 \approx 0.5(1.648) - 1 = 0.824 - 1 = -0.176 < 0$ **(0.25 ن)** - $g(0.6) = 0.6 e^{0.6} - 1 \approx 0.6(1.822) - 1 = 1.093 - 1 = +0.093 > 0$ **(0.25 ن)** - إذن $g(0.5) \times g(0.6) < 0`، ومنه `0.5 < \alpha < 0.6$. **(0.25 ن)** - استنتاج إشارة $g(x)$ على $\mathbb{R}$: - من أجل $x < \alpha`: `g(x) < 0$ (لأن الدالة متزايدة تماماً). **(0.25 ن)** - من أجل $x = \alpha`: `g(x) = 0$. **(0.25 ن)** - من أجل $x > \alpha`: `g(x) > 0$. **(0.25 ن)** --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي الأعزاء، إن سؤال الاستمرار وتطبيق نظرية القيم المتوسطة (TVI) هو **سؤال هدية** في البكالوريا إذا احترمتم المنهجية الصارمة. إليكم أهم أخطاء المترشحين التي ألاحظها سنوياً في مراكز التصحيح وكيف تفادونها: 1. **إغفال ذكر الاستمرار:** يكتب التلميذ مباشرة "بما أن $f(a) \times f(b) < 0$" ويُغفل تماماً جملة *"الدالة$f$ مستمرة ورتيبة تماماً"*؛ هذا يكلفك ضياع نصف العلامة أو علامة كاملة في بعض السلالم. اذكر الشروط الثلاثة بوضوح: **الاستمرار، الرتابة، اختلاف الإشارة**. 2. **الخلط في تحديد المجال:** تأكد دائماً أن العدد $0$ (أو القيمة `k`) محصور فعلياً بين صورتي حدي المجال `f(a)` و `f(b)`. 3. **الخلط بين إشارة الدالة المشتقة $f'(x)$ وإشارة الدالة الأصلية $f(x)$:** المشتقة تحدد **اتجاه التغير (التزايد والتناقص)** بينما القيم المتوسطة تبحث عن انعدام **الدالة الأصلية $f(x)$**. 4. **التعبير اللغوي الدقيق:** استخدم عبارة *"حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة تقبل حلاً وحيداً $\alpha$..."* ولا تقل "يوجد حل" فقط إذا كان السؤال يشترط الوحدانية (لأن الرتابة التامة هي التي تضمن الوحدانية). بالتوفيق في مساركم الدراسي نحو امتياز باكالوريا 2027، واعلموا أن الرياضيات تفتح أبواب التميز والمدارس العليا لمن فهم قواعدها وأتقن منهجيتها! $$