**الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية** **وزارة التربية الوطنية** **المستوى:** السنة الثالثة ثانوي (3AS) — شعبة علوم إexperimental، رياضي، وتسيير وقتصاد. **المادة:** علوم الفيزيائية — وحدة الظواهر الكهربائية (ثنائي القطب $RC$ و $RL$). **الأستاذ / المفتش العام:** د. $[اسم الأستاذ]$ ، خبير ومفتش مادة الفيزياء بوزارة التربية الوطنية (إصلاحات BAC 2027). --- # الدرس 1 : المكثفة، سعتها وتطبيق قانون جمع التوترات لإقامة المعادلة التفاضلية للشحن > **ملاحظة بيداغوجية هامة للمترشحين:** يمثل ثنائي القطب $RC$ المدخل الأساسي لوحدة الظواهر الكهربائية في امتحان شهادة البكالوريا. تتطلب الإجابة النموذجية دقة فيزيائية رياضية وصرامة في تطبيق القوانين الأساسية دون أي اختصار مخل. --- ## 1. مدخل ومفاهيم أساسية تعتبر **المكثفة** (Condensateur) عنصراً كهربائياً ثنائي القطب أساسياً في التراكيب الإلكترونية الحديثة، وتلعب دوراً محورياً في تخزين الطاقة الكهربائية لفترة زمنية محددة ثم تفريغها عند الحاجة (مثل الفلاشات الضوئية، دارات التوقيع، وتصفية الإشارات). * **التعريف الفيزيائي للمكثفة:** هي ثنائي قطب يتكون من ناقلين معدنيين (يُسميان **لبوسي المكثفة** Les armatures) يفصل بينهما عازل كهربائي (مثل: الهواء، الفراغ، الورق المقوى، أو مادة عازلة كيميائية). * **رمزها الاصطلاحي في الدارات الكهربائية:** يُرمز لها بالرمز الموضح هندسياً بpendicular خطين متوازيين متساويين أو أحدهما منحني قليلاً. * **الرمز الرياضي للشحنة والتيار:** عند ربط المكثفة بمولد مثالي للتوتر المستمر، تنتقل الشحنات الكهربائية (الإلكترونات) من لب إلى آخر عبر الدارة، مما يؤدي إلى تراكم شحنة موجبة $+q(t)$ على أحد اللبين وشحنة سالبة $-q(t)$ على اللب الآخر. --- ## 2. الدراسة النظرية والقوانين الرياضية/العلمية <div class="diagram-block my-6 text-center"> <img src="/media/course_assets/diagrams/diagram_54c0e3749f.png" alt="الدارة الكهربائية لثنائي القطب RC : وضعيتا الشحن (1) والتفريغ (2)" class="rounded-xl shadow-lg border border-slate-200 dark:border-slate-700 mx-auto max-w-full" style="max-height: 480px;" /> <p class="text-sm text-slate-500 dark:text-slate-400 mt-2 font-medium">الشكل 1 : الدارة الكهربائية لثنائي القطب RC مع وضعي القاطعة K (الشحن والتفريغ) وتوجيه التوترات والتيار ورسم الاهتزاز المهبطي</p> </div> ### أ. سعة المكثفة ($C$ - Capacité d'un condensateur) تتعلق قدرة المكثفة على تخزين الشحنات الكهربائية بمقدار مميز لها يُسمى **سعة المكثفة** ($C$). تُعرّف سعة المكثفة بأنها النسبية الثابتة بين شحنة أحد اللبين $q$ والتوتر الكهربائي $u_C$ بين طرفيها: $$C = \frac{q}{u_C}$$ * **وحدة القياس في النظام الدولي (SI):** تُقاس السعة بالفاراد ($F$). وعملاً، نستخدم أجزاء الفاراد مثل: الميكروفاراد ($\mu F = 10^{-6} F$)، النانوفاراد ($nF = 10^{-9} F$)، والبيكوفاراد ($pF = 10^{-12} F$). * ومنه نستنتج العلاقة الأساسية بين الشحنة والتوتر: $$q(t) = C \cdot u_C(t)$$ ### ب. العلاقة بين شدة التيار والشحنة الكهربائية شدة التيار الكهربائي $i(t)$ المار في الدارة هو مشتقة الشحنة الكهربائية بالنسبة للزمن: $$i(t) = \frac{dq(t)}{dt}$$ وبتعويض العلاقة $q(t) = C \cdot u_C(t)$ (باعتبار السعة $C$ مقداراً ثابتاً لا يتغير مع الزمن)، نجد العلاقة الحركية الهامة جداً في حل المعادلات التفاضلية: $$i(t) = \frac{d(C \cdot u_C(t))}{dt} = C \cdot \frac{du_C(t)}{dt}$$ ### ج. إقامة المعادلة التفاضلية للتوتر $u_C(t)$ أثناء الشحن لإقامة المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر $u_C(t)$ بين طرفي المكثفة أثناء عملية الشحن (Charge d'un condensateur)، نتبع المنهجية الرسمية المعتمدة في تصحيح البكالوريا: 1. **تمثيل الدارة الكهربائية:** نعتبر دارة الشحن الموالية المكونة من: * مولد قوى محرقة للكهرباء (موتر) ذي توتر ثابث $E$. * ناقل أومي مقاومته $R$. * مكثفة فارغة سعتها $C$. * قاطع حدة $K$. 2. **قانون جمع التوترات (Loi d'additivité des tensions):** عند اللحظة $t = 0$ نغلق القاطع $K$. بتطبيق قانون جمع التوترات على الدارة المتسلسلة: $$u_R(t) + u_C(t) = E$$ 3. **إدخال المقادير بدلالة المتغير المراد إيجاد معادلته ($u_C$):** * حسب قانون أوم، التوتر بين طرفي الناقل الأومي هو: $u_R(t) = R \cdot i(t)$ * وحسب ما سبق، فإن: $i(t) = C \cdot \frac{du_C(t)}{dt}$ * إذن: $u_R(t) = R \cdot C \cdot \frac{du_C(t)}{dt}$ 4. **التعويض في قانون جمع التوترات:** نعوض عبارة $u_R(t)$ في المعادلة الأصلية فنحصل على: $$R \cdot C \cdot \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E$$ 5. **الشكل النموذجي للمعادلة التفاضلية:** بقسمة أطراف المعادلة على الجداء الثابت $R \cdot C$ (نرمز له أحياناً بالثابت $\tau = R \cdot C$ زمن الاستجابة)، نكتب المعادلة التفاضلية في أبسط شكل رياضي مقبول رسمياً: $$\frac{du_C(t)}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} u_C(t) = \frac{E}{R \cdot C}$$ --- ## 3. أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة ### تطبيق مباشر: التحقق من صحة حل مقترح **النص:** نعتبر الدارة السابقة حيث $E = 10\text{ V}$ ، $R = 10^3\,\Omega$ ، و $C = 10\,\mu\text{F}$. يُقترح الحل التالي للمعادلة التفاضلية: $$u_C(t) = A \cdot (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$$ أوجد الثابتين $A$ و $\tau$ لكي يكون هذا الحل حلاً صحيحاً للمعادلة التفاضلية وللشروط الابتدائية. **الحل النموذجي المنهجي:** 1. **تحديد الثابت $\tau$:** نعلم أن الثابت الزمني هو $\tau = R \cdot C$. $$\tau = 10^3\,\Omega \times 10 \times 10^{-6}\text{ F} = 10^{-2}\text{ s} = 10\text{ ms}$$ 2. **الاشتقاق للتعويض في المعادلة التفاضلية:** نشتق عبارة الحل $u_C(t)$ بالنسبة للزمن $t$: $$\frac{du_C(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left[ A - A e^{-\frac{t}{\tau}} \right] = 0 - A \left( -\frac{1}{\tau} \right) e^{-\frac{t}{\tau}} = \frac{A}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}}$$ 3. **التعويض في المعادلة التفاضلية:** $\frac{A}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{1}{\tau} \left[ A - A e^{-\frac{t}{\tau}} \right] = \frac{E}{\tau}$ $$\frac{A}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{A}{\tau} - \frac{A}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} = \frac{E}{\tau}$$ تختزل الحدود المتعاكسة ليبقى: $$\frac{A}{\tau} = \frac{E}{\tau} \implies A = E = 10\text{ V}$$ 4. **تطبيق الشروط الابتدائية ($t = 0$):** عند اللحظة $t = 0$ ، المكثفة فارغة تماماً أي $u_C(0) = 0$. بالتأكد من الحل: $u_C(0) = E(1 - e^0) = E(1 - 1) = 0$ (وهو محقق تماماً). * إذن الحل النهائي هو: $u_C(t) = 10(1 - e^{-100t})$ فولت. --- ## 4. تمرين تدريبي نموذجي لـ شهادة البكالوريا (BAC) مع سلم التنقيط > **سياق التمرين:** يُجري تلاميذ السنة الثالثة تحضيراً مكثفاً لـ BAC 2027. إليك تمريناً يماثل بدقة الأسئلة الرسمية. **التمرين النموذجي (06 نقاط):** لدراسة تطور التوتر الكهربائي بين طرفي مكثفة سعتها $C$ خلال عملية الشحن، ننجز التركيب التجريبي المكون من مولد توتر قوته المحركة الكهربائية $E = 6\text{ V}$ ، ناقل أومي مقاومته $R = 2\,k\Omega$ ، ومكثفة غير مشحونة تماماً. 1. ارسم التخطيط النظامي للدارة الكهربائية المستعملة، موضحاً عليها بأسهم جهة التوترات الكهربائية $u_R(t)$ ، $u_C(t)$ ، وتوجيه التيار $i(t)$. *(1,0 نقطة)* 2. أثبت بتطبيق قانون جمع التوترات أن المعادلة التفاضلية للتوتر $u_C(t)$ تكتب من الشكل: *(2,0 نقطة)* $\frac{du_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC} u_C(t) = \frac{E}{RC}$ 3. بالاعتماد على التحليل البعدي، أجد وحدة المقدار $RC$ ، واستنتج مدلوضه الفيزيائي. *(1,5 نقطة)* 4. يُعطى الحل التجريبي للمعادلة التفاضلية بالشكل: $u_C(t) = A(1 - e^{-\alpha t})$. بالاعتماد على المعادلة التفاضلية والشروط الابتدائية، أوجد عبارتي الثابتين $A$ و $\alpha$. *(1,5 نقطة)* --- ### الإجابة النموذجية وسلم التنقيط الرسمي 1. **رسم الدارة والأسهم:** * رسم المولد، الناقل الأومي، المكثفة والقاطع بدقة. *(0,5 ن)* * تمثيل التوترات والتيار بصورة صحيحة ومعاكسة اتجاهياً (أو متوافقة اصطلاحياً حسب المختار). *(0,5 ن)* 2. **إثبات المعادلة التفاضلية:** * كتابة قانون جمع التوترات: $u_R(t) + u_C(t) = E$. *(0,5 ن)* * التعبير عن $u_R$ بدلالة التيار: $u_R(t) = R \cdot i(t)$. *(0,5 ن)* * ربط التيار بالشحنة والتوتر: $i(t) = C \frac{du_C}{dt}$. *(0,5 ن)* * التعويض والوصول للشكل المطلوب نهائياً. *(0,5 ن)* 3. **التحليل البعدي لـ $RC$:** * لدينا القانون: $u_C = \frac{q}{C} \implies [C] = \frac{[q]}{[u_C]} = \frac{[I] \cdot [T]}{[U]}$ (بما أن $q = I \cdot t$). *(0,5 ن)* * ولدينا من قانون أوم: $U = R \cdot I \implies [R] = \frac{[U]}{[I]}$. *(0,5 ن)* * إذن بعد الجداء: $[RC] = [R] \cdot [C] = \frac{[U]}{[I]} \times \frac{[I] \cdot [T]}{[U]} = [T]$. * إذن وحدة $RC$ هي الثانية (s)، وممدلوضه الفيزيائي هو **الثابت الزمني** $\tau$ للدارة $RC$. *(0,5 ن)* 4. **إيجاد الثابتين $A$ و $\alpha$:** * الشروط الابتدائية: عند $t = 0$ ، $u_C(0) = 0 \implies A(1 - e^0) = 0$ (محققة مسبقاً)، ولإيجاد $A$ نأخذ الحالة الحدية عندما $t \to +\infty$ يصبح $u_C(+\infty) = E \implies A(1 - 0) = E \implies A = E = 6\text{ V}$. *(0,75 ن)* * بالتعويض بالحل ومشتقه في المعادلة التفاضلية نجد: $\alpha A e^{-\alpha t} + \frac{1}{RC} A (1 - e^{-\alpha t}) = \frac{E}{RC} \implies A e^{-\alpha t} (\frac{1}{RC} - \alpha) = 0$ (لكل $t$). * ومنه: $\alpha = \frac{1}{RC} = \frac{1}{\tau}$. *(0,75 ن)* --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة عزيزي المترشح لامتحان البكالوريا، لتفادي خسارة النقاط المجانية في ورقة الإجابة، التزم بهذه النصائح الذهبية المستمدة من لجان تصحيح البكالوريا الرسمية: > ⚠️ **أخطاء شائعة احذر الوقوع فيها:** > 1. **إهمال الوحدات والرموز:** عدم كتابة الوحدات في النتائج النهائية (مثل V للتوتر، s للزمن، و F للسعة) يكلفك خصم علامات كاملة. > 2. **الخطأ في توجيه الدارة:** التوجيه العشوائي للاسهم يخلق إشارات سالبة خاطئة في قانون جمع التوترات. احرص على أن تكون جهة السهم $u_C$ معاكسة لجهة مرور التيار في الشحن. > 3. **عدم التفصيل في التحليل البعدي:** لا تكتب مباشرة أن وحدة $RC$ هي الثانية دون إثباتها خطوة بخطوة بالتحليل البعدي الأبعادي ($[T]$). > 4. **الخلط بين الشحن والتفريغ:** المعادلة التفاضلية للشحن تحتوي على طرف ثانٍ ثابت وهو ($\frac{E}{RC}$)، بينما في التفريغ يكون الطرف الثاني معدوماً ($= 0$). تذكر هذا جيداً! **ختاماً:** الفهم العميق والتدرب المكثف على حل المعادلات التفاضلية رياضياً وفيزيائياً هو مفتاحك الوحيد لضمان العلامة الكاملة ($20/20$) في مادة العلوم الفيزيائية بشهادة البكالوريا. بالتوفيق والنجاح لجميع طلابنا الأعاريس في BAC 2027!