المرافق والقسمة والمعادلات

## المرافق، القسمة، والمعادلات في $\mathbb{C}$ ### المرافق المركب المرافق للعدد $z = a + ib$ هو: $$\bar{z} = a - ib$$ **خواص المرافق:** $$\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$$ $$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$$ $$z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$$ $$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$$ $$z - \bar{z} = 2ib = 2i\cdot\text{Im}(z)$$ --- ### القسمة في $\mathbb{C}$ لإجراء القسمة، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{|z_2|^2}$$ **مثال:** $$\frac{3+2i}{1-i} = \frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3+3i+2i+2i^2}{1+1} = \frac{3+5i-2}{2} = \frac{1+5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$$ --- ### القيمة المطلقة (المعيار) للعدد المركب $$|z| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ **خواص المعيار:** $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$$ $$\left|\frac{z_1}{z_2}ight| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$$ $$|z| = |\bar{z}|$$ --- ### حل معادلات من الدرجة الثانية في $\mathbb{C}$ **قاعدة:** إذا كان $\Delta < 0$ فالمعادلة $ax^2+bx+c=0$ لها حلان مركبان متآلفان: $$z_1 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \quad \text{و} \quad z_2 = \overline{z_1} = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$ **مثال:** حل $z^2 - 2z + 5 = 0$ $$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$$ $$z = \frac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$$