الدرس 1 : مفهوم الدالة الخطية ومعامل التوجيه وحساب الصور والسوابق

## 1. وضعية الانطلاق والمفاهيم الأساسية بسم الله الرحمن الرحيم، والصلاة والسلام على أشرف المرسلين وخاتم النبيين، أما بعد. أبنائي وبناتي تلاميذ السنة الرابعة متوسط، أهلاً بكم في هذا الدرس التأسيسي الهام ضمن التحضير الجاد لشهادة التعليم المتوسط (BEM). سنتناول اليوم مفهوماً رياضياً محورياً يربط بين الجبر والهندسة، وهو الدالة الخطية (Fonction linéaire) ومعامل التوجيه (Coefficient directeur)، وكيفية التعامل مع الصور (Images) والسوابق (Antécédents). لكي نتقرب من هذا المفهوم، لنتأمل وضعية الانطلاق التالية: لنفرض أن محطة وقود تبيع البنزين بسعر ثابت قدره $45.50$ دج للتر الواحد. إذا قمنا بشراء $x$ لترا من البنزين، فإن الثمن الإجمالي المسدد $y$ بالدينار الجزائري يعتمد كلياً على كمية الوقود $x$. يمكننا التعبير عن هذه العلاقة بالطريقة التالية: $$y = 45.50 \times x$$ نلاحظ هنا أن كل قيمة للكمية $x$ ترتبط ارتباطاً وثيقاً بقيمة وحيدة للثمن $y$. هذه العلاقة الرياضية التي تربط كل عدد حقيقي $x$ بالعدد الحقيقي $45.50x$ تسمى في الرياضيات الدالة الخطية (Fonction linéaire). بصفة عامة، نعلم أن الدالة الخطية (Fonction linéaire) هي كل علاقة تربط كل عدد حقيقي $x$ بالعدد الحقيقي $ax$ حيث $a$ عدد حقيقي ثابت غير معدوم ($a \neq 0$). ونرمز لها بالرمز $f$ حيث نكتب: $f : x \mapsto ax$ أو نكتب مساواة الصورة بالدالة: $$f(x) = ax$$ حيث يسمى العدد $a$ معامل الدالة الخطية (Coefficient de la fonction linéaire) أو معامل التوجيه (Coefficient directeur)، ويسمى العدد $f(x)$ صورة العدد $x$ بالدالة $f$ (Image de $x$ par $f$)، بينما يسمى العدد $x$ سابقة العدد $f(x)$ بالدالة $f$ (Antécédent de $f(x)$ par $f$). --- ## 2. القواعد والمبرهنات الرياضية مع البراهين تعتمد دراسة الدوال الخطية على قواعد أساسية يجب على كل مترشح لشهادة التعليم المتوسط إتقانها فهماً وتطبيقاً. ### أولاً: كيفية تعيين معامل الدالة الخطية ($a$) إذا كانت $f$ دالة خطية، وعلِمنا أن صورة عدد غير معدوم $x_1$ هي العدد $f(x_1)$ ، فإننا نستطيع إيجاد قيمة المعامل $a$ باستعمال خاصية التناسبية (Proportionnalité). بما أن $f(x_1) = a x_1$ وبما أن $x_1 \neq 0$ ، فإننا نحصل على العلاقة الشهيرة: $$a = \frac{f(x_1)}{x_1}$$ إذن، معامل الدالة الخطية هو نسبة صورة أي عدد غير معدوم إلى ذلك العدد، وهو يمثل في نفس الوقت معامل التناسبية في جدول التناسبية الممثل للدالة. ### ثانياً: حساب صورة عدد بدالة خطية (Calcul d'une image) لحساب صورة عدد معلوم $x_0$ بدالة خطية $f$ معرفة بـ $f(x) = ax$ ، نقوم بعملية التعويض المباشر (Substitution directe) للرمز $x$ بالعدد $x_0$ في عبارة الدالة. > 💡 **خطوات حساب الصورة :** > 1. نكتب عبارة الدالة المعطاة : $f(x) = ax$. > 2. نعوض كل ظهور للمتغير $x$ بالقيمة المراد حساب صورتها. > 3. نحسب النتيجة النهائية مع احترام قواعد الإشارات وحساب الكسور. ### ثالثاً: حساب سابقة عدد بدالة خطية (Calcul d'un antécédent) لحساب سابقة عدد معلوم $y_0$ بدالة خطية $f$ معرفة بـ $f(x) = ax$ (حيث $a \neq 0$)، فإننا نبحث عن العدد $x$ الذي صورته هي $y_0$. وهذا يقودنا إلى حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد (Équation du premier degré à une inconnue). > 💡 **خطوات حساب السابقة :** > 1. نضع المعادلة : $f(x) = y_0$ أي $ax = y_0$. > 2. نحل المعادلة بالحصول على : $x = \frac{y_0}{a}$. > 3. نتحقق من صحة النتيجة بتعويض القيمة المجدولة في الدالة. --- ## 3. أمثلة وتطبيقات عددية وبيانية محلولة بالتفصيل لترسيخ هذه المفاهيم، إليكم تطبيقات نموذجية مشابهة لما يطرح في مواضيع شهادة التعليم المتوسط (BEM). ### التطبيق الأول (تحديد المعامل وحساب الصور والسوابق) لتكن $g$ دالة خطية حيث معرفة بـ $g(x) = -3x$. 1. احسب صورتي العددين $4$ و $-2$ بالدالة $g$. 2. عين سابقة العدد $12$ بالدالة $g$. 3. هل العدد $5$ ينتمي إلى البيان الخاص بالدالة $g$ علما أن صورته هي $-14$ ؟ برر إجابتك. **التصحيح النموذجي بالتفصيل:** 1. حساب الصور: - صورة العدد $4$ هي: $g(4) = -3 \times (4) = -12$. - صورة العدد $-2$ هي: $g(-2) = -3 \times (-2) = 6$. 2. حساب سابقة العدد $12$: نحل المعادلة $g(x) = 12$: $$-3x = 12$$ $$x = \frac{12}{-3}$$ $$x = -4$$ إذن سابقة العدد $12$ بالدالة $g$ هي العدد $-4$. 3. التحقق من انطلاق العدد $5$ وصورته $-14$: لكي ننظر هل النتاşئج صحيحة، نحسب صورة العدد $5$ بالدالة $g$: $$g(5) = -3 \times 5 = -15$$ وبما أن $g(5) = -15 \neq -14$ ، إذن العدد $5$ ليس له الصورة $-14$ بالدالة $g$ ، وبالتالي النقطة ذات الإحداثيات $(5, -14)$ لا تنتمي إلى التمثيل البياني للدالة $g$. ### التطبيق الثاني (إيجاد عبارة الدالة انطلاقا من قيمة معلومة) $f$ دالة خطية حيث صورتها للعدد $5$ هي العدد النطقي $20$ ($f(5) = 20$). 1. أوجد معامل الدالة $f$. 2. استنتج عبارة الدالة $f(x)$. **التصحيح النموذجي بالتفصيل:** 1. إيجاد المعامل $a$: بما أن $f$ دالة خطية، فإن $f(x) = ax$. إذن: $$a = \frac{f(5)}{5} = \frac{20}{5} = 4$$ معامل الدالة $f$ هو $4$. 2. استنتاج عبارة الدالة: عبارة الدالة هي: $$f(x) = 4x$$ --- ## 4. تمرين نموذجي على طريقة شهادة التعليم المتوسط مع سلم التنقيط إليك تمرين متكامل مصمم وفق المنهجية الرسمية لشهادة التعليم المتوسط (BEM)، ومصحوب بسلم التنقيط الدقيق لتتدرب على طريقة المصححين النموذجيين. **نص التمرين:** إليك الدالة الخطية $h$ المعرفة بعبارتها: $h(x) = -2.5x$. 1. أنقل الجدول الاتي ثم أتممه: | $x$ | $-2$ | | |---|---|---| | $h(x)$ | | $10$ | 2. أجب عن السؤال التالي مع التبرير الحسابي: هل النقطة $A(-4, 10)$ تنتمي إلى التمثيل البياني للدالة $h$ في مستوي منسوب إلى معلم متجامد ومتعامد؟ 3. في معلم متجامد ومتعامد $(O, I, J)$ ، يتمثل البيان الخاص بالدالة $h$ بمستقيم $(D)$. - أذكر طبيعة هذا المستقيم ولماذا يمر من مبدأ المعلم؟ - أنشئ المستقيم $(D)$ بتعيين نقطة مساعدة بالإضافة إلى مبدأ المعلم. --- **التصحيح النموذجي وسلم التنقيط للتمرين:** 1. إتمام الجدول: (1.5 ن) - لحساب $h(-2)$: نعوض $x$ بـ $-2$: $h(-2) = -2.5 \times (-2) = 5$ (وضع الرقم $5$ في الخانة الأولى: 0.5 ن) - لحساب سابقة العدد $10$: نحل المعادلة $-2.5x = 10$ ومنه $x = \frac{10}{-2.5} = -4$: وضع العدد $-4$ في الخانة الثانية: (0.5 ن) اكتمال الجدول بشكل صحيح وصياغة الخانات: (0.5 ن) 2. التحقق من انطلاق النقطة $A(-4, 10)$: (1.5 ن) - لحساب صورة الإحداثية الأولى $x = -4$: $h(-4) = -2.5 \times (-4) = 10$ (0.75 ن) - بما أن $h(-4)$ يساوي الترتيبة $y_A = 10$ التابعة للنقطة $A$ ، فإن النقطة $A$ تنتمي حتماً إلى التمثيل البياني للدالة $h$. (0.75 ن) 3. التمثيل البياني وطبيعته: (2 ن) - طبيعة التمثيل البياني: التمثيل البياني لدالة خطية هو خط مستقيم $(D)$ يشمل مبدأ المعلم $O(0,0)$ لأن $h(0) = -2.5 \times 0 = 0$. (1 ن) - الإنشاء السليم للمستقيم في المعلم (باستعمال النقطة المساعدة مثلاً $B(-2, 5)$ أو النقطة $A(-4, 10)$ وتوصيلها بالمبدأ): (1 ن) المجموع الكلي للتمرين: $1.5 + 1.5 + 2 = 5$ نقاط. --- ## 5. ملخص الختام ونصائح المفتش لتفادي الأخطاء الشائعة أبنائي الأعزاء، لكي تضمنوا العلامة الكاملة في تمارين الدوال الخطية في امتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM)، وجب عليكم الانتباه إلى الملاحظات الذهبية التالية التي يوصي بها أساتذة ومفتشو المادة: 1. **التمييز الدقيق بين الصورة والسابقة:** - عندما يطلب منك "احسب صورة العدد $x$"، فهذا يعني أنك تبحث عن $f(x)$ وتقوم بالتعويض المباشر. - عندما يطلب منك "احسب سابقة العدد $y$"، فهذا يعني أنك تبحث عن $x$ وتضطر لحل المعادلة الخطية $ax = y$. لا تقم أبداً بالخلط بين العمليتين! 2. **صياغة الجمل الرياضية:** - عند حساب معامل الدالة، اكتب القانون أولاً ($a = \frac{f(x)}{x}$) ثم قم بالتطبيق العددي لتبرير خطواتك وعرضها بوضوح للمصحح. 3. **طبيعة التمثيل البياني:** - تذكر دائماً أن التمثيل البياني للدالة الخطية هو مستقيم يمر حتماً من مبدأ المعلم $O(0,0)$. إذا رسمت مستقيماً لا يمر من المبدأ ولديك دالة خطية، فاعلم أن هناك خطأ جسيما في حساباتك وعليك بمراجعتها فوراً. 4. **التنظيم والدقة الهندسية:** - عند رسم التمثيل البياني في ورقة الإجابة أو ورقة المليمترية (إن وجدت)، استخدم دائماً قلم رصاص مبرياً جيداً ومسطرة غير ممحاة، ولا تنسَ توجيه المحاور وتسمية المعلم $(O, I, J)$ والمستقيم $(D)$. نتمنى لكم كل التوفيق والنجاح، وموعدنا يتجدد في الدرس الموالي الخاص بالدالتين التآلفية وجمل المعادلتين لتبلغوا مراتب الإتقان والتميز في شهادة التعليم المتوسط 2027. والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته.