# # الدرس 1.1: مدخل إلى الدوال (مجموعة التعريف والنهايات) # # مقدمة: ما هي الدالة؟ في حياتنا اليومية، نتعامل مع العديد من العلاقات التي تشبه مفهوم "الدالة" في الرياضيات. تخيل آلة بيع: تضع عملة (مدخل)، تضغط على زر منتج معين، فتخرج لك علبة العصير (مخرج). لكل مدخل (عملة + زر)، يوجد مخرج واحد محدد. في الرياضيات، الدالة (Function) هي علاقة بين مجموعتين: مجموعة المدخلات (تسمى **المجال* * أو **مجموعة التعريف**) ومجموعة المخرجات المحتملة (تسمى **المجال المقابل**). ما يميز الدالة هو أن **كل مدخل يرتبط بمخرج واحد فقط**. نرمز للدالة عادة بحرف مثل $f$ أو $g$ أو $h$ . إذا كان $x$ هو المدخل، فإن المخرج المقابل له يكتب على الصورة $f(x)$ (تقرأ "إف لِـ إكس"). $$y = f(x)$$ حيث: - $x$ : هو المتغير المستقل (Input). - $f(x)$ أو $y$ : هو المتغير التابع (Output)، وقيمته تعتمد على قيمة $x$ . **مثال بسيط:** لنفترض أن لدينا الدالة $f(x) = x + 5$ . هذه الدالة تأخذ أي عدد $x$ وتضيف إليه 5. - إذا كان المدخل $x=3$ ، فإن المخرج هو $f(3) = 3 + \\\\ 5 = 8$ . - إذا كان المدخل $x=-2$ ، فإن المخرج هو $f(-2) = -2 + \\\\ 5 = 3$ . --- # # الجزء الأول: مجموعة تعريف الدالة (Domain of a Function) مجموعة تعريف الدالة، ويرمز لها بـ $D_f$ ، هي مجموعة كل قيم $x$ الممكنة التي يمكننا إدخالها في الدالة والحصول على ناتج حقيقي ومُعرَّف. ببساطة، هي "قائمة المدخلات المسموح بها". لماذا لا تكون كل الأعداد مسموحة دائمًا؟ لأن هناك عمليات رياضية محظورة، وأشهرها اثنتان: **1. القسمة على صفر:** لا يمكننا أبدًا القسمة على صفر. لذلك، في أي دالة تحتوي على كسر، يجب أن نتأكد من أن المقام لا يساوي صفرًا أبدًا. الصيغة العامة لدالة كسرية هي: $$f(x) = \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$$ لكي تكون هذه الدالة معرفة، يجب أن يتحقق الشرط: $$Q(x) eq 0$$ * **مثال:* * أوجد مجموعة تعريف الدالة $f(x) = \\\\displaystyle\\\\frac{1}{x-2}$ . * للدالة معنى، يجب أن يكون المقام $x-2 eq 0$ . * بحل هذه المتباينة، نجد $x eq 2$ . * إذًا، يمكن لـ $x$ أن يأخذ أي قيمة حقيقية ما عدا العدد 2. * تكتب مجموعة التعريف كالتالي: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ أو على شكل فترات: $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ . **2. الجذور التربيعية (أو أي جذر زوجي):** لا يمكننا حساب الجذر التربيعي لعدد سالب في مجموعة الأعداد الحقيقية. لذلك، أي تعبير يقع تحت علامة الجذر التربيعي يجب أن يكون موجبًا أو يساوي صفرًا (غير سالب). الصيغة العامة لدالة جذرية هي: $$f(x) = \sqrt{P(x)}$$ لكي تكون هذه الدالة معرفة، يجب أن يتحقق الشرط: $$P(x) \geq 0$$ * **مثال:* * أوجد مجموعة تعريف الدالة $g(x) = \\\\sqrt{x+3}$ . * لكي يكون للدالة معنى، يجب أن يكون ما تحت الجذر $x+3 \geq 0$ . * بحل هذه المتباينة، نجد $x \geq -3$ . * إذًا، المدخلات المسموحة هي كل الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي -3. * تكتب مجموعة التعريف كالتالي: $D_g = [-3, +\infty)$ . **حالات أخرى:** - **الدوال كثيرات الحدود (Polynomials):* * مثل $f(x) = x^3 - 4x + 1 $. هذه الدوال لا تحتوي على مقامات أو جذور، لذا فهي معرفة دائمًا. مجموعة تعريفها هي كل الأعداد الحقيقية$ \mathbb{R}$ . - **ت组合 الشروط:* * ماذا لو كانت الدالة تحتوي على جذر في المقام؟ * **مثال:* * أوجد مجموعة تعريف الدالة $h(x) = \\\\displaystyle\\\\frac{5}{\\\\sqrt{x-1}}$ . * لدينا شرطان هنا: 1. ما تحت الجذر يجب أن يكون غير سالب: $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$ . 2. المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا: $\\\\sqrt{x-1} eq 0 \implies x-1 eq 0 \implies x eq 1$ . * عندما نجمع الشرطين ( $x \geq 1$ و $x eq 1 $) معًا، نحصل على$ x > 1$ . * إذًا، مجموعة التعريف هي $D_h = (1, +\infty)$ . --- # # الجزء الثاني: مدخل إلى النهايات (Introduction to Limits) النهاية (Limit) هي مفهوم أساسي في حساب التفاضل والتكامل يصف سلوك الدالة عندما يقترب متغيرها من قيمة معينة. النهاية تخبرنا إلى أين **تتجه* * قيمة الدالة، وليس بالضرورة ما هي قيمتها **عند* * تلك النقطة بالضبط. نرمز للنهاية بالصيغة: $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$ وتقرأ: "نهاية الدالة $f(x)$ عندما تقترب $x$ من $a$ تساوي $L$ ". **1. حساب النهايات بالتعويض المباشر:** في كثير من الحالات البسيطة (للدوال المتصلة مثل كثيرات الحدود)، يمكننا إيجاد النهاية ببساطة عن طريق تعويض القيمة التي تقترب منها $x$ في الدالة. * **مثال:* * احسب $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1)$ . * نعوض مباشرة بقيمة $x=3$ : $$2(3)^2 - 4(3) + 1 = 2(9) - 12 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7$$ * إذًا، $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1) = 7$ . **2. النهايات عند اللانهاية ( $x \to \infty$ ):** هنا ندرس سلوك الدالة عندما تصبح قيمة $x$ كبيرة جدًا (موجبة أو سالبة). هذا يساعدنا على فهم "السلوك النهائي" للدالة ورسم منحناها. * **قاعدة مهمة:* * لأي عدد ثابت $c$ وأي عدد موجب $n > 0$ : $$\lim_{x \to \pm\infty} \displaystyle \frac{c}{x^n} = 0$$ هذا منطقي: عندما تقسم عددًا ثابتًا على عدد كبير جدًا، فإن النتيجة تقترب من الصفر. * **مثال:* * احسب $\lim_{x \to +\infty} \\\\displaystyle\\\\frac{3x+5}{x-2}$ . * هنا، إذا عوضنا مباشرة نحصل على $\\\\frac{\infty}{\infty}$ ، وهو **شكل غير محدد**. * الحل هو قسمة كل من البسط والمقام على أعلى قوة لـ $x$ في المقام (وهي $x^1$ ). $$\lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{3x}{x} + \displaystyle \frac{5}{x}}{ \displaystyle \frac{x}{x} - \displaystyle \frac{2}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{3 + \displaystyle \frac{5}{x}}{1 - \displaystyle \frac{2}{x}}$$ * الآن نستخدم القاعدة السابقة: $\lim_{x \to \infty} \\\\frac{5}{x} = 0$ و $\lim_{x \to \infty} \\\\frac{2}{x} = 0$ . * إذًا، النهاية تساوي: $$\displaystyle \frac{3+0}{1-0} = 3$$ **3. الأشكال غير المحددة (Indeterminate Forms):** أحيانًا، يؤدي التعويض المباشر إلى نتائج مثل $\\\\frac{0}{0}$ أو $\\\\frac{\infty}{\infty}$ أو $\infty - \infty$ . هذه الأشكال لا تعني أن النهاية غير موجودة، بل تعني أننا بحاجة إلى معالجة جبرية للدالة أولاً. * **مثال:* * احسب $\lim_{x \to 2} \\\\displaystyle\\\\frac{x^2 - 4}{x-2}$ . * التعويض المباشر يعطي $\\\\frac{2^2 - 4}{2-2} = \\\\frac{0}{0}$ . * نلاحظ أن البسط يمكن تحليله كفرق بين مربعين: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ . * إذًا، يمكننا تبسيط الدالة (طالما $x eq 2$ ): $$\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$$ * الآن نحسب النهاية للدالة المبسطة: $$\lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$$ * هذا يعني أنه على الرغم من أن الدالة الأصلية غير معرفة عند $x=2$ ، فإن قيمتها تقترب بشدة من 4 كلما اقتربت $x$ من 2. --- # # الربط بين مجموعة التعريف والنهايات مجموعة التعريف والنهايات مرتبطان بشكل وثيق. غالبًا ما نهتم بحساب النهايات عند **أطراف* * مجموعة التعريف. * إذا كانت مجموعة التعريف هي $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ ، فإن الأطراف التي تهمنا هي $-\infty$ , $2$ (من اليسار واليمين), و $+\infty$ . * إذا كانت مجموعة التعريف هي $[-3, +\infty)$ ، فإن الأطراف هي $-3$ (من اليمين) و $+\infty$ . **مثال شامل:** لنعد إلى الدالة $f(x) = \\\\displaystyle\\\\frac{1}{x-2}$ . مجموعة تعريفها هي $D_f = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ . لنحسب النهايات عند الأطراف: 1. **عند $\pm\infty$ :** $$\lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{1}{x-2} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} \displaystyle \frac{1}{x-2} = 0$$ (لأن المقام يصبح كبيرًا جدًا). 2. **عند 2:* * هنا يجب أن ندرس الاقتراب من اليمين ( $x \to 2^+$ ) ومن اليسار ( $x \to 2^-$ ). * **من اليمين ( $x \to 2^+$ ):* * تخيل $x$ تأخذ قيمًا مثل 2.1, 2.01, 2.001. في هذه الحالة، المقام $x-2$ يكون عددًا صغيرًا جدًا وموجبًا. $$\lim_{x \to 2^+} \displaystyle \frac{1}{x-2} = \displaystyle \frac{1}{0^+} = +\infty$$ * **من اليسار ( $x \to 2^-$ ):* * تخيل $x$ تأخذ قيمًا مثل 1.9, 1.99, 1.999. في هذه الحالة، المقام $x-2$ يكون عددًا صغيرًا جدًا وسالبًا. $$\lim_{x \to 2^-} \displaystyle \frac{1}{x-2} = \displaystyle \frac{1}{0^-} = -\infty$$ هذه النهايات تخبرنا أن منحنى الدالة له **خط تقارب رأسي* * (Vertical Asymptote) عند $x=2$ و**خط تقارب أفقي* * (Horizontal Asymptote) عند $y=0$ . # # 💡 Exemples Concrets # ## مثال 1: إيجاد مجموعة تعريف دالة كسرية أوجد مجموعة تعريف الدالة $f(x) = \\\\displaystyle\\\\frac{2x+1}{x^2 - 9}$ . **الحل:** لتعريف الدالة، يجب أن لا يساوي المقام صفرًا. نحل المعادلة $x^2 - 9 = 0$ . $x^2 = 9$ $x = \\\\sqrt{9}$ أو $x = -\\\\sqrt{9}$ $x = 3$ أو $x = -3$ إذًا، القيم الممنوعة هي 3 و -3. مجموعة التعريف هي كل الأعداد الحقيقية ما عدا هاتين القيمتين. $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$ أو $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)$ . # ## مثال 2: إيجاد مجموعة تعريف دالة جذرية أوجد مجموعة تعريف الدالة $g(x) = \\\\sqrt{7-x}$ . **الحل:** لتعريف الدالة، يجب أن يكون المقدار الموجود تحت الجذر التربيعي أكبر من أو يساوي الصفر. $7-x \geq 0$ نضيف $x$ إلى الطرفين: $7 \geq x$ أو $x \leq 7$ . إذًا، مجموعة التعريف هي كل الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي 7. $D_g = (-\infty, 7]$ . # ## مثال 3: حساب نهاية تؤدي إلى شكل غير محدد احسب النهاية التالية: $\lim_{x \to 5} \\\\displaystyle\\\\frac{x^2 - 25}{x-5}$ . **الحل:** التعويض المباشر بـ $x=5$ يعطينا $\\\\frac{5^2 - 25}{5-5} = \\\\frac{0}{0}$ ، وهو شكل غير محدد. نحتاج إلى تبسيط الدالة. نلاحظ أن البسط هو فرق بين مربعين: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ . $$\lim_{x \to 5} \displaystyle \frac{(x-5)(x+5)}{x-5}$$ نختصر العامل المشترك $(x-5)$ من البسط والمقام (وهذا مسموح لأن $x$ تقترب من 5 ولكنها لا تساوي 5). $$\lim_{x \to 5} (x+5)$$ الآن نقوم بالتعويض المباشر: $$5 + 5 = 10$$ إذًا، النهاية تساوي 10. # # 🧠 Exercices Pratiques **Exercice 1* * : أوجد مجموعة تعريف الدالة $f(x) = \\\\displaystyle\\\\frac{x}{\\\\sqrt{x-4}}$ . > *Solution : لدينا شرطان: 1. ما تحت الجذر يجب أن يكون غير سالب: $x-4 \geq 0 \implies x \geq 4$ . 2. المقام لا يساوي صفرًا: $\\\\sqrt{x-4} eq 0 \implies x-4 eq 0 \implies x eq 4$ . بدمج الشرطين ( $x \geq 4$ و $x eq 4 $)، نحصل على الشرط$ x > 4$ . إذًا، مجموعة التعريف هي $D_f = (4, +\infty)$ .* **Exercice 2* * : احسب النهاية التالية: $\lim_{x \to +\infty} \\\\displaystyle\\\\frac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5x}$ . > *Solution : بما أن $x \to +\infty$ ، فإن النهاية هي نسبة الحدين الأعلى درجة في البسط والمقام. $$\lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{4x^2}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{4}{2} = 2$$ **طريقة بديلة (بالقسمة على أعلى قوة):** نقسم البسط والمقام على $x^2$ . $$\lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{4x^2}{x^2} - \displaystyle \frac{3x}{x^2} + \displaystyle \frac{1}{x^2}}{ \displaystyle \frac{2x^2}{x^2} + \displaystyle \frac{5x}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{4 - \displaystyle \frac{3}{x} + \displaystyle \frac{1}{x^2}}{2 + \displaystyle \frac{5}{x}} = \displaystyle \frac{4-0+0}{2+0} = 2$$ * **Exercice 3* * : احسب النهاية التالية: $\lim_{x \to 1} \\\\displaystyle\\\\frac{1}{(x-1)^2}$ . > *Solution : عندما يقترب $x$ من 1 (سواء من اليمين أو اليسار)، فإن المقدار $(x-1)$ يقترب من الصفر. وبما أن المقدار مربع، فإن $(x-1)^2$ سيقترب دائمًا من الصفر من خلال قيم موجبة (لأن تربيع أي عدد غير صفري هو موجب). لذلك، لدينا قسمة عدد ثابت (1) على عدد صغير جدًا وموجب ( $0^+$ ). $$\lim_{x \to 1} \displaystyle \frac{1}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{1}{0^+} = +\infty$$ * # # 📝 À Retenir - الدالة هي علاقة تربط كل عنصر من مجموعة التعريف (المدخلات) بعنصر واحد فقط من مجموعة المخرجات. - مجموعة تعريف الدالة هي كل قيم $x$ المسموح بها. يجب الانتباه بشكل خاص إلى أن المقام لا يمكن أن يكون صفرًا، وأن المقدار تحت الجذر التربيعي يجب أن يكون غير سالب. - النهاية تصف سلوك الدالة عندما يقترب متغيرها من قيمة معينة أو من اللانهاية. - إذا أعطى التعويض المباشر في النهاية قيمة مثل $0/0$ أو $\infty/\infty$ ، يجب تبسيط الدالة جبريًا (بالتحليل أو القسمة على أعلى قوة لـ $x$ ) قبل حساب النهاية. - حساب النهايات عند أطراف مجموعة التعريف يساعد في فهم السلوك العام للدالة ورسم منحناها البياني.